Вопрос школьника
Два шара ёмкостью V = 1⋅10 − 3 м3 каждый соединены трубкой радиусом r = 3⋅10 − 3 м и длиной l = 1 м. При нормальных условиях посередине трубки находится капелька ртути. На сколько переместится капелька, если левую сторону нагреть ΔT1 = 2 K, а правую, наоборот, охладить на ΔТ2 = 1 К?
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо воспользоваться законом сохранения энергии. При изменении температуры газа его объем и давление также изменяются. В данном случае мы имеем дело с ртутью, которая является жидкостью, но ее свойства можно рассматривать как газоподобные при нормальных условиях.
Из закона сохранения энергии следует, что изменение внутренней энергии системы равно работе, совершенной над системой, и количеству тепла, переданному системе. В данном случае работа равна нулю, так как объем системы не меняется, а количеству тепла можно найти изменение внутренней энергии.
Изменение внутренней энергии можно найти по формуле:
ΔU = Cv * m * ΔT,
где Cv — удельная теплоемкость при постоянном объеме, m — масса ртути, ΔT — изменение температуры.
Массу ртути можно найти, зная ее плотность:
ρ = m / V,
откуда
m = ρ * V.
Плотность ртути при нормальных условиях равна 13 534 кг/м3.
Теперь можно найти изменение внутренней энергии системы:
ΔU = Cv * ρ * V * ΔT.
Изменение внутренней энергии равно количеству тепла, переданному системе. Тепло передается через трубку, поэтому можно воспользоваться законом Фурье:
Q = k * S * ΔT / l,
где k — коэффициент теплопроводности, S — площадь поперечного сечения трубки, l — длина трубки.
Коэффициент теплопроводности ртути при нормальных условиях равен 8,3 Вт/(м·К).
Площадь поперечного сечения трубки можно найти по формуле:
S = π * r2,
где r — радиус трубки.
Подставляя все значения, получаем:
Q = k * π * r2 * ΔT / l = 8,3 * 3,14 * (3⋅10-3)2 * (2 — 1) / 1 ≈ 0,024 Вт.
Тепло, переданное системе, равно изменению внутренней энергии:
ΔU = Cv * ρ * V * ΔT = 0,14 * 13 534 * 1⋅10-3 * (2 — (-1)) ≈ 5,3 Дж.
Изменение внутренней энергии приводит к изменению давления в трубке, что приводит к перемещению капельки ртути. Изменение давления можно найти по уравнению состояния идеального газа:
pV = nRT,
где p — давление, V — объем, n — количество вещества, R — универсальная газовая постоянная, T — температура.
Количество вещества можно найти, зная массу и молярную массу:
n = m / M,
где M — молярная масса ртути, равная 200,59 г/моль.
Таким образом, давление на левой стороне трубки будет равно:
p1 = ρ * R * (T1 + 273) / M ≈ 1,8⋅105 Па,
а на правой стороне:
p2 = ρ * R * (T2 + 273) / M ≈ 1,7⋅105 Па.
Изменение давления равно:
Δp = p1 — p2 ≈ 1,1⋅104 Па.
Из закона Пуазейля следует, что объем, занимаемый газом, пропорционален давлению и обратно пропорционален температуре:
V = k * p / T,
где k — постоянная.
Постоянная k можно найти, зная, что при нормальных условиях объем газа равен 1 моль:
V0 = k * p0 / T0,
откуда
k = V0 * T0 / p0 ≈ 24,8 м3/моль.
Теперь можно найти изменение объема газа в трубке:
ΔV = k * Δp / T ≈ 0,45⋅10-6 м3.
Изменение объема газа приводит к перемещению капельки ртути. Объем капельки можно найти, зная ее массу и плотность:
Vк = mк / ρк,
где ρк — плотность ртути, равная 13 534 кг/м3.
Массу капельки можно найти, зная ее диаметр:
mк = (4/3) * π * (dк/2)3 * ρк,
где dк — диаметр капельки.
Диаметр капельки можно найти, зная, что ее объем равен половине объема шара:
Vк = (4/3) * π * (dк/2)3 / 2,
откуда
dк = 3 * (2 * Vк / π)1/3.
Подставляя все значения, получаем:
mк ≈ 1,1⋅10-7 кг,
Vк ≈ 1,6⋅10-10 м3,
dк ≈ 1,2⋅10-3 м.
Изменение объема газа приводит к перемещению капельки на расстояние:
Δx = ΔV / Vк ≈ 2,8⋅10-4 м.
Таким образом, капелька ртути переместится на 0,28 мм.
