Вопрос школьника
Два сосуда объёмами V1 = 5 м3 и V2 = 3 м3 содержат воздух при температурах Т1 = 288 оК и Т2 = 301 оК с относительными влажностями r1 = 0,22 и r2 = 0,46. Определить относительную влажность воздуха в сосудах после их соединения между собой.
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо воспользоваться законом сохранения массы и уравнением состояния идеального газа.
Согласно закону сохранения массы, масса воздуха в обоих сосудах до их соединения должна быть равна массе воздуха в сосудах после соединения:
m1 + m2 = m
где m1 и m2 — массы воздуха в первом и втором сосудах соответственно, m — общая масса воздуха после соединения.
Масса воздуха может быть выражена через уравнение состояния идеального газа:
m = pV/RT
где p — давление воздуха, V — объем сосуда, R — универсальная газовая постоянная, T — температура воздуха.
Таким образом, для каждого сосуда можно записать:
m1 = p1V1/RT1
m2 = p2V2/RT2
Общая масса воздуха после соединения сосудов будет равна сумме масс воздуха в каждом из сосудов:
m = p1V1/RT1 + p2V2/RT2
Относительная влажность воздуха в сосудах после их соединения может быть определена по формуле:
r = e/es
где e — парциальное давление водяного пара в воздухе, es — насыщенное парциальное давление при данной температуре.
Парциальное давление водяного пара может быть вычислено по уравнению Клапейрона-Клаузиуса:
e = rH2O * es
где rH2O — относительная влажность воздуха, es — насыщенное парциальное давление водяного пара при данной температуре.
Таким образом, для каждого сосуда можно вычислить парциальное давление водяного пара и насыщенное парциальное давление при данной температуре:
e1 = r1 * es1
es1 = 0,611 * exp(17,27 * T1 / (T1 + 237,3))
e2 = r2 * es2
es2 = 0,611 * exp(17,27 * T2 / (T2 + 237,3))
Общее парциальное давление воздуха после соединения сосудов можно вычислить как сумму парциальных давлений воздуха и водяного пара:
p = p1 + p2
e = e1 + e2
Относительная влажность воздуха после соединения сосудов будет равна:
r = e/es
где es — насыщенное парциальное давление водяного пара при температуре, равной средней температуре воздуха в сосудах после их соединения:
T = (T1 + T2) / 2
es = 0,611 * exp(17,27 * T / (T + 237,3))
Таким образом, подставляя известные значения, получаем:
m1 = p1V1/RT1 = (101325 Па) * (5 м3) / (287 Дж/кг*К * 288 К) = 221,7 кг
m2 = p2V2/RT2 = (101325 Па) * (3 м3) / (287 Дж/кг*К * 301 К) = 94,5 кг
m = m1 + m2 = 316,2 кг
e1 = r1 * es1 = 0,22 * 1913,5 Па = 420,8 Па
es1 = 0,611 * exp(17,27 * 288 / (288 + 237,3)) = 1913,5 Па
e2 = r2 * es2 = 0,46 * 4043,5 Па = 1860,1 Па
es2 = 0,611 * exp(17,27 * 301 / (301 + 237,3)) = 4043,5 Па
p = p1 + p2 = (101325 Па) + (101325 Па) = 202650 Па
e = e1 + e2 = 420,8 Па + 1860,1 Па = 2280,9 Па
T = (T1 + T2) / 2 = (288 К + 301 К) / 2 = 294,5 К
es = 0,611 * exp(17,27 * 294,5 / (294,5 + 237,3)) = 2983,5 Па
r = e/es = 2280,9 Па / 2983,5 Па = 0,765
Ответ: относительная влажность воздуха в сосудах после их соединения между собой составляет 0,765 или 76,5%.
