Вопрос школьника
Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,93, вероятность того, что мишень будет поражена дважды, равна 0,27. Найти вероятность того, что мишень будет поражена ровно один раз
Ответ от учителя
Пусть $A$ — событие, что мишень будет поражена хотя бы один раз, $B$ — событие, что мишень будет поражена дважды, $C$ — событие, что мишень не будет поражена ни разу. Тогда по формуле полной вероятности имеем:
$$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|overline{B})P(overline{B}) + P(A|C)P(C)$$
Заметим, что $P(B) + P(overline{B}) + P(C) = 1$, поэтому:
$$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|overline{B})P(overline{B}) + P(A|C)(1-P(B)-P(overline{B}))$$
Из условия задачи известны $P(A)$ и $P(B)$, поэтому осталось найти $P(A|overline{B})$ и $P(A|C)$.
$P(A|overline{B})$ — вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, если она не будет поражена дважды. Это означает, что мишень будет поражена ровно один раз. Поэтому $P(A|overline{B}) = P(text{ровно один раз})$.
$P(A|C)$ — вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, если она не будет поражена ни разу. Очевидно, что $P(A|C) = 0$.
Таким образом, получаем:
$$0.93 = P(text{ровно один раз})P(overline{B})$$
$$0.27 = P(B)$$
Откуда:
$$P(overline{B}) = frac{0.93}{P(text{ровно один раз})}$$
$$P(B) = 0.27$$
Подставляя в первое уравнение, получаем:
$$0.93 = P(text{ровно один раз})cdotfrac{0.93}{P(text{ровно один раз})} + P(A|overline{B})cdot 0.73$$
Откуда:
$$P(text{ровно один раз}) = frac{0.93 — 0.73P(A|overline{B})}{0.2}$$
Осталось найти $P(A|overline{B})$. Заметим, что $P(A|overline{B}) = 1 — P(C|overline{B})$, где $P(C|overline{B})$ — вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу, если она не будет поражена дважды. Это означает, что оба выстрела попали мимо мишени. Поэтому:
$$P(C|overline{B}) = (1-p)^2$$
где $p$ — вероятность попадания в мишень одним выстрелом. Из условия задачи известно, что:
$$1 — p^2 = 0.73$$
Откуда:
$$p = sqrt{0.27} = 0.5196$$
Тогда:
$$P(C|overline{B}) = (1-0.5196)^2 approx 0.107$$
И, наконец, подставляя все значения, получаем:
$$P(text{ровно один раз}) = frac{0.93 — 0.73cdot(1-0.107)}{0.2} approx 0.6$$
Ответ: вероятность того, что мишень будет поражена ровно один раз, равна 0.6.
