Вопрос школьника
Два тела массами m и 3m, одновременно начинают скользить внутрь полусферы радиусом R. Происходит неупругий удар. Определить максимальную высоту слипшихся тел после удара
Ответ от учителя
Перед ударом общая кинетическая энергия системы двух тел равна сумме кинетических энергий каждого тела:
$E_{text{кин до}} = frac{1}{2}mv^2 + frac{1}{2}(3m)v^2 = frac{5}{2}mv^2$
После удара тела слипаются и движутся вместе. При этом сохраняется импульс системы:
$p_{text{до}} = p_{text{после}}$
$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v_{text{к}}$
где $v_{text{к}}$ — скорость слипшихся тел после удара.
Подставляя значения масс и скоростей, получаем:
$mv_1 + 3mv_2 = 4mv_{text{к}}$
$v_{text{к}} = frac{1}{4}(v_1 + 3v_2)$
Энергия системы после удара состоит из потенциальной энергии, связанной с высотой, на которую поднялись слипшиеся тела, и кинетической энергии, связанной со скоростью движения слипшихся тел:
$E_{text{после}} = mgh + frac{1}{2}(4m)v_{text{к}}^2$
где $h$ — максимальная высота, на которую поднялись слипшиеся тела.
Используя закон сохранения энергии, можно записать:
$E_{text{кин до}} = E_{text{после}}$
$frac{5}{2}mv^2 = mgh + 2mv_{text{к}}^2$
Подставляя выражение для $v_{text{к}}$, получаем:
$frac{5}{2}mv^2 = mgh + 2mleft(frac{1}{4}(v_1 + 3v_2)right)^2$
$frac{5}{2}mv^2 = mgh + frac{1}{2}mv_1^2 + frac{9}{2}mv_2^2 + 3mv_1v_2$
Выразим $h$:
$h = frac{5}{2g}v^2 — frac{1}{2g}v_1^2 — frac{9}{2g}v_2^2 — frac{3}{2g}v_1v_2$
Максимальная высота будет достигнута, когда скорость слипшихся тел будет равна нулю. Поэтому подставляем $v_{text{к}} = 0$ и находим:
$h_{text{макс}} = frac{5}{2g}v^2$
Таким образом, максимальная высота, на которую поднимутся слипшиеся тела, зависит только от начальной скорости движения тел и равна $frac{5}{2g}v^2$.
