Вопрос школьника
Два токаря получили задание изготовить детали, общее число которых меньше 1000. За первый, второй и третий день первый токарь выполнил соответственно 1/7 , 1/6 и 9/20 своего задания, а второй за эти же дни – 1/4, 3/11 и 3/7 своего задания. Сколько деталей изготовил каждый токарь в третий день?
Ответ от учителя
Пусть первый токарь изготовил $x$ деталей, а второй токарь изготовил $y$ деталей. Тогда общее число изготовленных деталей равно $x+y$. Мы знаем, что $x+y<1000$. За первый день первый токарь выполнил $1/7$ своего задания, то есть $x/7$ деталей. За второй день он выполнил $1/6$ своего задания, то есть $x/6$ деталей. За третий день он выполнил $9/20$ своего задания, то есть $9x/20$ деталей. Всего первый токарь изготовил $x/7 + x/6 + 9x/20$ деталей за первые три дня, то есть $(60x+70x+63x)/420 = 193x/420$ деталей. За первый день второй токарь выполнил $1/4$ своего задания, то есть $y/4$ деталей. За второй день он выполнил $3/11$ своего задания, то есть $3y/11$ деталей. За третий день он выполнил $3/7$ своего задания, то есть $9y/21$ деталей. Всего второй токарь изготовил $y/4 + 3y/11 + 9y/21$ деталей за первые три дня, то есть $(231y+252y+396y)/924 = 879y/924$ деталей. Мы знаем, что общее число изготовленных деталей $x+y$ меньше 1000. Мы также знаем, что первый токарь изготовил $193x/420$ деталей, а второй токарь изготовил $879y/924$ деталей. Значит, $193x/420 + 879y/924 < 1000$. Чтобы найти, сколько деталей каждый токарь изготовил в третий день, мы можем решить систему уравнений: $$begin{cases} x/6 + 9x/20 = k \ 3y/11 + 9y/21 = k end{cases}$$ где $k$ – количество деталей, изготовленных каждым токарем в третий день. Решая эту систему, мы получаем: $$begin{cases} x = 120k/23 \ y = 231k/46 end{cases}$$ Теперь мы можем подставить эти значения $x$ и $y$ в неравенство $193x/420 + 879y/924 < 1000$ и найти максимальное значение $k$, при котором это неравенство выполняется: $$frac{193}{420} cdot frac{120k}{23} + frac{879}{924} cdot frac{231k}{46} < 1000$$ Решая это неравенство, мы получаем $k < 138$. Значит, каждый токарь изготовил менее 138 деталей в третий день. Ответ: каждый токарь изготовил менее 138 деталей в третий день.
