Вопрос школьника
Два треугольника имеют по две равные стороны, а сумма углов между соответственно равными сторонами этих треугольников равна 180°. Докажите, что данные треугольники равновелики.
Ответ от учителя
Для доказательства равновеликости двух треугольников необходимо показать, что они имеют равные площади.
Пусть у нас есть два треугольника ABC и A’B’C’, у которых по две равные стороны AB = A’B’ и AC = A’C’, и сумма углов между соответственно равными сторонами этих треугольников равна 180°.
Рассмотрим два случая:
1. Если угол между сторонами AB и AC равен углу между сторонами A’B’ и A’C’, то треугольники ABC и A’B’C’ являются равнобедренными и равноугольными, так как у них соответственно равны две стороны и угол между ними.
2. Если угол между сторонами AB и AC не равен углу между сторонами A’B’ и A’C’, то мы можем построить треугольник A»B»C», который будет равнобедренным и равноугольным треугольнику ABC, так как у них соответственно равны две стороны и угол между ними. Также мы можем построить треугольник A»B»C», который будет равнобедренным и равноугольным треугольнику A’B’C’.
Таким образом, мы получили три равнобедренных и равноугольных треугольника ABC, A’B’C’ и A»B»C». При этом треугольники ABC и A’B’C’ имеют общую высоту, а значит, их площади будут пропорциональны длинам соответствующих оснований AB и A’B’. Аналогично, треугольники ABC и A»B»C» имеют общую высоту, и их площади будут пропорциональны длинам соответствующих оснований AB и A»B».
Так как треугольники ABC, A’B’C’ и A»B»C» равноугольны, то их соответствующие стороны будут пропорциональны. А значит, длины оснований AB, A’B’ и A»B» также будут пропорциональны.
Таким образом, мы можем записать следующее соотношение:
AB : A’B’ = AB : A»B»
Отсюда следует, что A’B’ = A»B», а значит, треугольники A’B’C’ и A»B»C» равновелики.
Таким образом, мы доказали, что треугольники ABC и A’B’C’ равновелики, что и требовалось доказать.
