Вопрос школьника
Два треугольника подобны. Разность меньшей стороны одного треугольника и большей стороны другого равна 1 см, разность большей стороны одного и меньшей стороны другого равна 13 см, а длины их средних сторон равны 12 см и 4 см.
Найдите неизвестные стороны этих треугольников.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойствами подобных треугольников. Если два треугольника подобны, то соответствующие стороны пропорциональны, а соответствующие углы равны. Обозначим стороны меньшего треугольника через $a$, $b$ и $c$, а стороны большего треугольника через $ka$, $kb$ и $kc$, где $k$ — коэффициент подобия.
Из условия задачи имеем систему уравнений:
$$
begin{cases}
kb — a = 1 \
kc — b = 13 \
frac{kc+kb}{2} = 12 \
frac{c+a}{2} = 4
end{cases}
$$
Решим ее методом подстановки. Из четвертого уравнения находим $c = 8 — a$. Подставляем это выражение в третье уравнение и находим $kb = 16 — ka$. Подставляем эти выражения в первое и второе уравнения и получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $ka$:
$$
begin{cases}
(16-ka) — a = 1 \
(16-ka) — (8-a) = 13
end{cases}
$$
Решая эту систему, находим $a = 3$ и $ka = 5$. Таким образом, меньший треугольник имеет стороны 3, 4 и 5, а больший — 15, 20 и 25.
