Вопрос школьника
Два туриста отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов М и N, между которыми 33 км. Через 3 ч 12 мин расстояние между туристами сократилось до 1 км, а еще через 2 ч 18 мин первому оставалось пройти до N втрое меньше, чем второму до М. Найдите скорость каждого туриста.
Ответ от учителя
Пусть первый турист движется со скоростью $v_1$ к пункту $N$, а второй турист со скоростью $v_2$ к пункту $M$. Тогда расстояние между ними уменьшается со скоростью $v_1+v_2$.
За время $3$ часа $12$ минут (это $3+frac{12}{60}=frac{28}{5}$ часа) расстояние между туристами уменьшилось на $33-1=32$ км. Значит,
$$
(v_1+v_2)cdotfrac{28}{5}=32.
$$
Разделим это уравнение на $4$:
$$
(v_1+v_2)cdotfrac{7}{5}=8.
$$
Теперь рассмотрим второй момент времени. Через $2$ часа $18$ минут (это $2+frac{18}{60}=frac{9}{5}$ часа) первый турист прошел расстояние $33-1-frac{1}{3}(33-1)=frac{2}{3}cdot 32=frac{64}{3}$ км, а второй турист прошел расстояние $frac{1}{3}(33-1)=frac{32}{3}$ км. Значит,
$$
v_1cdotfrac{9}{5}=frac{64}{3},quad v_2cdotfrac{9}{5}=frac{32}{3}.
$$
Разделим второе уравнение на первое:
$$
frac{v_2}{v_1}=frac{32}{64/3}=frac{3}{2}.
$$
Теперь можно решить систему уравнений:
$$
begin{cases}
(v_1+v_2)cdotfrac{7}{5}=8,\
v_1cdotfrac{9}{5}=frac{64}{3},\
v_2cdotfrac{9}{5}=frac{32}{3},\
frac{v_2}{v_1}=frac{3}{2}.
end{cases}
$$
Из последнего уравнения следует, что $v_2=frac{3}{2}v_1$. Подставим это в первое уравнение:
$$
v_1cdotfrac{7}{5}cdotleft(1+frac{3}{2}right)=8,
$$
откуда $v_1=frac{40}{11}$ км/ч. Тогда $v_2=frac{3}{2}cdotfrac{40}{11}=frac{60}{11}$ км/ч.
Итак, первый турист движется со скоростью $frac{40}{11}$ км/ч, а второй турист — со скоростью $frac{60}{11}$ км/ч.
