Вопрос школьника
Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Длина одной из его сторон равна 8 см, а периметр треугольника равен 37 см. Вычислите длины двух других сторон треугольника.
Ответ от учителя
Пусть углы при вершине A и B равны. Обозначим стороны треугольника как AB, BC и AC. Тогда из условия задачи следует, что угол CAB = угол CBA.
Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то угол ACB = 180 — 2 угла CAB = 180 — 2 угла CBA.
Также известно, что AB = 8 см и периметр треугольника равен 37 см. Значит, AB + BC + AC = 37. Подставим известные значения в это уравнение:
8 + BC + AC = 37
BC + AC = 29
Теперь воспользуемся законом косинусов для нахождения длины стороны AC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2AB*BC*cos(CAB)
Так как углы CAB и CBA равны, то можно записать:
AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2AB*BC*cos(CBA)
Подставим известные значения:
AC^2 = 8^2 + BC^2 — 2*8*BC*cos(CBA)
AC^2 = 64 + BC^2 — 16BC*cos(CBA)
Аналогично, для стороны BC:
BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2AB*AC*cos(CAB)
BC^2 = 8^2 + AC^2 — 2*8*AC*cos(CBA)
BC^2 = 64 + AC^2 — 16AC*cos(CBA)
Теперь можно выразить cos(CBA) и подставить его в оба уравнения:
cos(CBA) = (AB^2 + BC^2 — AC^2) / (2AB*BC)
cos(CBA) = (8^2 + BC^2 — AC^2) / (2*8*BC)
cos(CBA) = (64 + AC^2 — BC^2) / (2*8*AC)
Подставляем в первое уравнение:
AC^2 = 64 + BC^2 — 16BC*((AB^2 + BC^2 — AC^2) / (2AB*BC))
AC^2 = 64 + BC^2 — 8(AB^2 + BC^2 — AC^2) / AB
AC^2 = 64 + BC^2 — 8(64 + BC^2 — AC^2) / 8
AC^2 = 64 + BC^2 — 64 — BC^2 + AC^2
2AC^2 = 64
AC = sqrt(32)
Аналогично, подставляем во второе уравнение:
BC^2 = 64 + AC^2 — 16AC*((AB^2 + BC^2 — AC^2) / (2AB*AC))
BC^2 = 64 + AC^2 — 8(AB^2 + BC^2 — AC^2) / AB
BC^2 = 64 + AC^2 — 8(64 + BC^2 — AC^2) / sqrt(32)
BC^2 = 64 + 32 — 8(64 + BC^2 — 32) / sqrt(32)
BC^2 = 96 — 8(32 + BC^2) / sqrt(32)
BC^2 = 96 — 256 / sqrt(32) + BC^2 / sqrt(2)
BC^2 — BC^2 / sqrt(2) = 96 — 256 / sqrt(32)
BC^2 = (96 — 256 / sqrt(32)) / (1 — 1 / sqrt(2))
BC = sqrt(16)
Таким образом, длины двух других сторон треугольника равны sqrt(32) см и 4 см.
