Вопрос школьника
Две хорды AB и CD окружности не имеют общих точек, а дуги AC и BD, заключенные между ними, равны (рис. 28). Докажите, что AB || CD.
Ответ от учителя
Для начала, обозначим центр окружности как O. Также обозначим точки пересечения дуг AC и BD как E и F соответственно.
Так как дуги AC и BD равны, то углы AOC и BOD также равны. Это означает, что треугольники AOC и BOD подобны друг другу.
Так как AB и CD являются хордами, то они пересекаются в точке X. Также, так как треугольники AOC и BOD подобны, то углы AOX и BOX также равны.
Теперь рассмотрим треугольники AEX и BFX. Они имеют две пары соответственных углов, так как углы AOX и BOX равны, а углы AEX и BFX являются соответственными углами при параллельных прямых AB и CD. Также, треугольники AEX и BFX имеют равные углы EAX и FBX, так как они являются соответственными углами при равных дугах AC и BD.
Таким образом, треугольники AEX и BFX подобны друг другу по признаку двух соответственных углов. Это означает, что соотношение длин сторон AE и BF равно соотношению длин сторон EX и FX.
Но так как точки E и F лежат на одной окружности, то длины дуг AE и BF также равны. Это означает, что длины сторон AE и BF равны.
Таким образом, мы получили, что стороны треугольников AEX и BFX равны друг другу. Это возможно только если противоположные стороны параллельны. Таким образом, мы доказали, что AB || CD.
