Вопрос школьника
Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 31 и 32, касаются сторон угла с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
Ответ от учителя
Рассмотрим сначала ситуацию, когда окружности касаются стороны угла внутренним образом. Тогда мы можем провести общую касательную к этим окружностям, которая будет пересекать стороны угла в точках B и C, и эта касательная будет параллельна биссектрисе угла. Таким образом, мы получим равнобедренный треугольник ABC, в котором угол BAC равен 72 градусам (половина угла между касательными).
Однако в нашем случае окружности касаются стороны угла внешним образом. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему о внешнем касании: если окружности касаются внешним образом, то расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.
Обозначим центры окружностей как O1 и O2, а точку касания как K. Тогда расстояние между центрами окружностей равно 31 + 32 = 63. Проведем линию, соединяющую центры окружностей, и обозначим точку пересечения с биссектрисой угла как M.
Так как линия KM является биссектрисой угла, то угол KMB равен 36 градусам (половина угла между касательными). Также угол KOM равен 90 градусам, так как он является прямым углом между линиями KM и O1O2. Тогда угол KOB равен 54 градусам (угол в треугольнике KOB равен 180 — 36 — 90 = 54 градусам).
Таким образом, мы получаем, что треугольник KOB является равнобедренным, и радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен радиусу окружности, описанной около треугольника KOB. Обозначим радиус этой окружности как r.
Так как треугольник KOB равнобедренный, то KB = KO1 = 31 и BO2 = 32. Также мы знаем, что угол KOB равен 54 градусам. Тогда мы можем использовать формулу для нахождения радиуса описанной окружности в равнобедренном треугольнике:
r = KB / (2 * sin(KOB/2)) = 31 / (2 * sin(27)) ≈ 57.1
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен примерно 57.1.
