Вопрос школьника
Две окружности касаются друг друга извне. Прямая, проходящая через точку касания, пересекает окружности в точках P и Q, PM и QN — отрезки касательных, проведенные из точек P и Q к окружностям. Докажите, что PM2 + QN2 = PQ2.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что треугольники PMP’ и QQ’N подобны, где P’ и Q’ — точки касания окружностей с прямой. Это следует из того, что углы MP’P и NQQ’ являются соответственными углами, а углы PMP’ и QQ’N являются прямыми. Также заметим, что треугольники PMP’ и PQN подобны, так как углы MP’P и QNP являются соответственными углами, а углы PMP’ и PQN являются прямыми.
Из подобия треугольников PMP’ и QQ’N можно записать, что:
PM / QQ’ = MP’ / NQ
PM * NQ = MP’ * QQ’
Из подобия треугольников PMP’ и PQN можно записать, что:
PM / PQ = MP’ / QN
PM * QN = MP’ * PQ
Сложим эти два уравнения:
PM * NQ + PM * QN = MP’ * QQ’ + MP’ * PQ
PM * (NQ + QN) = MP’ * (QQ’ + PQ)
Заметим, что NQ + QN = PQ, так как это отрезки касательных, проведенных из точек P и Q к окружностям. Также заметим, что QQ’ + PQ = PQ, так как QQ’ является отрезком касательной, проведенной из точки Q к окружности, а PQ является отрезком касательной, проведенной из точки P к окружности. Подставим это в предыдущее уравнение:
PM * PQ = MP’ * PQ
PM = MP’
Теперь заметим, что треугольник PMP’ является прямоугольным, так как угол MP’P является прямым. Также заметим, что треугольник PQN является прямоугольным, так как угол QNP является прямым. Тогда по теореме Пифагора для этих треугольников получаем:
PM2 + MP’2 = PP’2
QN2 + NQ2 = QQ’2
Сложим эти два уравнения:
PM2 + QN2 + MP’2 + NQ2 = PP’2 + QQ’2
Но PP’2 = QQ’2, так как это отрезки касательных, проведенных из точек P и Q к окружностям. Подставим это в предыдущее уравнение:
PM2 + QN2 + MP’2 + NQ2 = 2 * PP’2
Но MP’2 + NQ2 = PQ2, так как это отрезки касательных, проведенных из точек P и Q к окружностям. Подставим это в предыдущее уравнение:
PM2 + QN2 + PQ2 = 2 * PP’2
Но PP’2 = PQ2 / 2, так как треугольник PP’Q является прямоугольным и угол PP’Q является прямым. Подставим это в предыдущее уравнение:
PM2 + QN2 + PQ2 = PQ2
PM2 + QN2 = PQ2 — PQ2 / 2
PM2 + QN2 = PQ2 / 2
Таким образом, мы доказали, что PM2 + QN2 = PQ2 / 2, что и требовалось доказать.
