Вопрос школьника
Две окружности касаются друг друга в точке А. Произвольная прямая, проходящая через A, вторично пересекает одну окружность в точке B а другую — в точке С. Докажите, что центральные углы этих окружностей, соответствующие хордам АВ и АС, равны.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точка А является общей для обеих окружностей, а значит, расстояние от нее до центров окружностей равно. Обозначим центры окружностей как O1 и O2, а радиусы как r1 и r2 соответственно.
Так как прямая AB является хордой окружности O1, то угол AOB, где O — центр окружности O1, равен удвоенному углу между хордой AB и дугой AB. Аналогично, угол AOC, где O — центр окружности O2, равен удвоенному углу между хордой AC и дугой AC.
Так как хорды AB и AC пересекаются в точке A, то угол между ними равен нулю. То есть, угол AOB + угол BOC = 180 градусов.
Также заметим, что треугольник AOB и треугольник AOC являются подобными, так как угол A является общим, а углы OAB и OAC являются соответственными углами при равных углах между хордами AB и AC. Таким образом, отношение сторон треугольников AOB и AOC равно отношению радиусов окружностей: AB/AC = r1/r2.
Из подобия треугольников также следует, что угол AOB = угол AOC * (r1/r2).
Подставляя это выражение в уравнение углов AOB + угол BOC = 180 градусов, получаем:
угол AOC * (r1/r2) + угол BOC = 180 градусов.
Так как угол BOC является общим для обоих окружностей, то его можно выразить через угол AOC:
угол BOC = 180 градусов — угол AOC * (r1/r2).
Подставляя это выражение в уравнение выше, получаем:
угол AOC * (r1/r2) + 180 градусов — угол AOC * (r1/r2) = 180 градусов.
Таким образом, угол AOC и угол AOB равны, что и требовалось доказать.
