Вопрос школьника
Две окружности касаются внешним образом, а каждая из них касается сторон данного угла. Вычислите синус угла, сторонами которого являются биссектриса и сторона данного угла, если радиусы окружностей равны 2 см и 4 см.
Ответ от учителя
Пусть дан угол ABC, где AB и BC — стороны угла, а BD — биссектриса угла. Пусть также окружности касаются сторон AB и BC в точках E и F соответственно.
Так как окружности касаются внешним образом, то расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:
EF = 2r1 + 2r2 = 2*2 + 2*4 = 12 см
Также, так как BD — биссектриса угла, то угол ABD = угол CBD. Обозначим этот угол через x.
Тогда, так как точки E и F являются точками касания окружностей со сторонами угла, то AE = AF = BD*tg(x/2), где tg(x/2) — тангенс половины угла x.
Таким образом, мы получили прямоугольный треугольник AEF, в котором известны гипотенуза EF и катеты AE и AF. Мы можем найти синус угла AEF, который равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
sin(AEF) = AE/EF = BD*tg(x/2)/EF
Так как мы знаем значения BD и EF, мы можем выразить sin(AEF) через известные значения:
sin(AEF) = BD*tg(x/2)/EF = 2*tg(x/2)/6 = tg(x/2)/3
Таким образом, мы получили выражение для синуса угла AEF через тангенс половины угла x. Осталось только найти этот тангенс.
Так как BD — биссектриса угла, то угол ABD = угол CBD = x/2. Также, так как точки E и F являются точками касания окружностей со сторонами угла, то AE = AF = BD*tg(x/2).
Таким образом, мы получили прямоугольный треугольник ABD, в котором известны катеты AB и BD. Мы можем найти тангенс угла ABD, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
tg(x/2) = AB/BD = (AB/BC)*(BC/BD) = (sin(B)*BD)/(cos(B/2)*BD) = sin(B)/cos(B/2)
Таким образом, мы нашли тангенс половины угла x. Подставляя его в выражение для sin(AEF), получаем:
sin(AEF) = tg(x/2)/3 = sin(B)/(3*cos(B/2))
Ответ: синус угла, сторонами которого являются биссектриса и сторона данного угла, равен sin(B)/(3*cos(B/2)), где B — угол данного треугольника.
