Вопрос школьника
Две окружности касаются внешним образом. Найдите геометрическое место точек, для которых отрезки касательных, проведённых из равны.
Ответ от учителя
Пусть даны две окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами r₁ и r₂ соответственно, которые касаются внешним образом в точке A. Пусть P – произвольная точка на геометрическом месте, а PT₁ и PT₂ – касательные к окружностям, проведенные из точки P.
Так как PT₁ и PT₂ – касательные к окружностям, то они перпендикулярны радиусам, проведенным в точках касания. Таким образом, PT₁ ⊥ OA и PT₂ ⊥ OA.
Пусть M – середина отрезка OA. Тогда OM ⊥ PT₁ и OM ⊥ PT₂. Так как PT₁ ⊥ OA и PT₂ ⊥ OA, то PT₁ || PT₂.
Пусть Q – проекция точки P на прямую OA. Тогда MQ = MA – PA = r₂ – r₁.
Таким образом, геометрическое место точек, для которых отрезки касательных, проведенных из них к двум окружностям, равны, является прямой, параллельной линии, соединяющей центры окружностей и удаленной от нее на расстояние r₂ – r₁.
