Вопрос школьника
Две окружности касаются внешним образом в точке А и лежат по одну сторону от их общей касательной ВС, где B и С — точки касания. Найдите площадь треугольника ABC, если АВ = а, АС = b.
Ответ от учителя
Пусть радиусы окружностей равны r и R, где R > r. Тогда из треугольника АВС можно составить прямоугольный треугольник АХС, где Х — середина отрезка ВС. Так как АВ = а и АС = b, то ХС = ХВ = (а + b) / 2. Также из прямоугольного треугольника АХС следует, что АХ = √(AR * r), где AR = R — r.
Теперь можно выразить стороны треугольника ABC через радиусы окружностей и длины отрезков АВ и АС:
AB = АХ + ХВ = √(AR * r) + (а + b) / 2
AC = АХ + ХС = √(AR * r) + (а + b) / 2
BC = ВС = 2R
Площадь треугольника ABC можно найти по формуле Герона:
S = √(p * (p — AB) * (p — AC) * (p — BC))
где p = (AB + AC + BC) / 2.
Подставляя выражения для сторон AB, AC и BC, получаем:
p = (2R + а + b) / 2
AB = AC = √(AR * r) + (а + b) / 2
BC = 2R
S = √(p * (p — AB) * (p — AC) * (p — BC))
После несложных алгебраических преобразований получаем:
S = √(ab * (a + b + 2R) * (2R — a — b)).
Таким образом, площадь треугольника ABC зависит от радиусов окружностей и длин отрезков АВ и АС.
