Вопрос школьника
Две окружности касаются внутренним образом в точке А. Отрезок АВ — диаметр большей окружности. Хорда ВК большей окружности касается меньшей окружности в точке С. Найдите градусную меру угла CAB, если угол CBA = а.
Ответ от учителя
Пусть радиусы меньшей и большей окружностей равны соответственно r и R, а расстояние между центрами окружностей равно d. Так как отрезок АВ является диаметром большей окружности, то его длина равна 2R. Также из условия задачи следует, что отрезок ВК является хордой большей окружности, касающейся меньшей окружности в точке С. Поэтому отрезок ВС является радиусом меньшей окружности и его длина равна r.
Рассмотрим треугольник АВК. Он является прямоугольным, так как отрезок АВ является диаметром большей окружности. Поэтому угол АКВ равен 90 градусов. Также угол ВКС равен 90 градусов, так как отрезок ВС является радиусом меньшей окружности. Из этих двух углов следует, что угол АКС равен 180 — 90 — 90 = 0 градусов, то есть точки А, К и С лежат на одной прямой.
Теперь рассмотрим треугольник АСВ. Он является прямоугольным, так как отрезок АВ является диаметром большей окружности, а отрезок ВС является радиусом меньшей окружности. Поэтому угол САВ равен 90 градусов. Также из условия задачи следует, что угол CBA равен а градусов. Из этих двух углов можно найти угол CAB:
CAB = 90 — а
Таким образом, градусная мера угла CAB равна 90 — а градусов.
