Вопрос школьника
Две окружности пересекаются в точках A и B. Хорда AC второй окружности лежит на касательной к первой, а хорда BD первой окружности — на касательной ко второй. Докажите, что AB2 = AD * BC и BD2 : AC2 = AD : BC.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что по условию задачи у нас есть две касательные, проходящие через точки пересечения окружностей A и B. Также мы знаем, что хорда AC лежит на касательной к первой окружности, а хорда BD — на касательной ко второй.
Рассмотрим треугольники ABD и ABC. Они имеют общую высоту AB, поэтому можно записать:
S(ABD) = (1/2) * AB * BD
S(ABC) = (1/2) * AB * AC
где S(ABD) и S(ABC) — площади треугольников ABD и ABC соответственно.
Также заметим, что треугольники ABD и ABC подобны, так как у них соответственные углы равны (угол ABD равен углу ABC, так как они опираются на одну и ту же дугу AB, а угол BAD равен углу BAC, так как они опираются на одну и ту же дугу BA). Поэтому можно записать:
BD/AD = BC/AC
или
BD * AC = AD * BC
Теперь возведем это равенство в квадрат:
(BD * AC)^2 = (AD * BC)^2
BD^2 * AC^2 = AD^2 * BC^2
BD^2/AC^2 = AD^2/BC^2
Таким образом, мы доказали, что BD^2 : AC^2 = AD^2 : BC^2.
Теперь заметим, что из подобия треугольников ABD и ABC следует, что угол ABD равен углу ABC. Поэтому можно записать:
sin(ABD) = sin(ABC)
или
BD/(2R1) = AC/(2R2)
где R1 и R2 — радиусы первой и второй окружностей соответственно.
Таким образом, мы получили:
BD * AC = 4R1 * R2 * sin(ABD) * sin(ABC)
Но мы знаем, что угол ABD равен углу ABC, поэтому:
BD * AC = 4R1 * R2 * sin^2(ABD)
Также мы знаем, что AB = 2R1 * sin(ABD) = 2R2 * sin(ABC), поэтому:
sin^2(ABD) = (AB/2R1)^2 = (AB/2R2)^2 = sin^2(ABC)
Таким образом, мы получаем:
BD * AC = 4R1 * R2 * sin^2(ABD) = 4R1 * R2 * sin^2(ABC) = AB^2
или
AB^2 = BD * AC
Что и требовалось доказать.
