Вопрос школьника
Две окружности пересекаются в точках A и B. Каждый из отрезков AC и AD является хордой одной окружности и касается другой. Докажите, что AC * BA = AD * BC.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что если отрезок AC является хордой одной окружности и касается другой, то он является радикальной осью этих двух окружностей. Аналогично, отрезок AD также является радикальной осью этих двух окружностей.
Пусть O1 и O2 — центры этих окружностей, а R1 и R2 — их радиусы. Тогда, по определению, AC и AD являются перпендикулярами к линии, соединяющей центры окружностей O1 и O2.
Пусть точка пересечения AC и AD обозначается как X. Тогда, по теореме о перпендикуляре, AX является высотой треугольника ABC, а DX является высотой треугольника ABD.
Также заметим, что треугольники ABC и ABD подобны, так как они имеют два одинаковых угла (угол BAC и угол BAD) и общую сторону AB. Следовательно, соотношение их сторон равно соотношению их высот:
AC/AD = BC/BD
AC * BD = AD * BC
Но BD = 2R2 — BA (где R2 — радиус окружности, на которой лежит хорда AC), а AC = 2R1 — BC (где R1 — радиус окружности, на которой лежит хорда AD). Подставляя это в предыдущее соотношение, получаем:
(2R1 — BC) * (2R2 — BA) = AD * BC
4R1R2 — 2R1BA — 2R2BC + BCBA = AD * BC
2R1BA — BCBA = AD * BC — 4R1R2 + 2R2BC
BA(2R1 — BC) = BC(2R2 — BA)
BA * AC = BC * AD
Таким образом, мы доказали, что AC * BA = AD * BC.
