Вопрос школьника
Две окружности пересекаются в точках A и P. Через точку A проведена касательная к первой окружности, пересекающая вторую окружность в точке B, а через точку P – прямая, параллельная прямой AB и пересекающая вторую и первую окружности в точках C и D. Докажите, что AB = CD.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства AB и CD воспользуемся свойством касательной к окружности: она перпендикулярна к радиусу, проведенному в точке касания. Таким образом, угол APB прямой.
Также заметим, что угол BPC также прямой, так как прямая PC параллельна прямой AB, а значит, угол BPC равен углу APB.
Теперь рассмотрим треугольники APB и CPD. У них есть общий угол BPC, а также равные углы APB и CPD (они прямые). Значит, эти треугольники подобны по двум углам.
Так как у них также есть общий угол PCD, то треугольники CPD и BPC также подобны по двум углам.
Из подобия треугольников APB и CPD следует, что отношение AB к CD равно отношению AP к CP. Из подобия треугольников CPD и BPC следует, что отношение CP к CD равно отношению BP к BC.
Таким образом, имеем AB/CD = AP/CP и CP/CD = BP/BC.
Заметим, что треугольники BPC и BAC подобны, так как у них есть общий угол B и равные углы BPC и BAC (они прямые). Значит, отношение BP к BC равно отношению AB к AC.
Подставляя это в выражение для CP/CD, получаем CP/CD = AB/AC.
Таким образом, имеем AB/CD = AP/CP = AB/AC, откуда следует, что CD = AC, то есть AB = CD.
