Вопрос школьника
Две окружности пересекаются в точках A и В. Прямая, проходящая через А, вторично пересекает окружности в точках К и М, а прямая, проходящая через В, вторично пересекает окружности в точках Р и Q. Докажите, что точки К, М, Р и Q служат вершинами трапеции или параллелограмма.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники $AKM$ и $BPR$. Они подобны, так как углы при вершинах $A$ и $B$ равны (они соответственные), а углы при вершинах $K$ и $R$ равны (они вертикальные). Аналогично, треугольники $AMB$ и $KPQ$ подобны.
Таким образом, отрезки $AK$ и $BR$ имеют одинаковое отношение к отрезкам $KM$ и $PR$, а отрезки $AM$ и $BP$ имеют одинаковое отношение к отрезкам $MQ$ и $KP$.
Отсюда следует, что $KM$ и $PR$ параллельны, а $MQ$ и $KP$ тоже параллельны. Таким образом, точки $K$, $M$, $R$ и $Q$ лежат на параллельных прямых $KM$ и $PR$, а значит, они образуют трапецию или параллелограмм.
Для того, чтобы определить, является ли полученная фигура трапецией или параллелограммом, нужно дополнительно изучить углы между сторонами. Если две противоположные стороны параллельны и все углы прямые, то это параллелограмм. Если только одна пара сторон параллельна, то это трапеция.
