Вопрос школьника
Две окружности с диаметрами 3 и 5 касаются друг друга в точке А. Прямая, проходящая через А, вторично пересекает меньшую окружность в точке В, а большую — в точке С. Найдите хорды АВ и АС, если: а) ВС = √3 ; б)ВС = √5.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства касательных и хорд окружностей.
а) Пусть ВС = √3. Тогда, по свойству касательной, угол АВС прямой. Также, по свойству хорд, АВ и АС являются биссектрисами угла ВАС. Обозначим точку пересечения АВ и АС как D.
Так как угол АВС прямой, то треугольник АВС является прямоугольным. По теореме Пифагора:
AB² + BV² = AV²
AC² + CV² = AV²
Так как AB = AD + DV, а AC = AD + DC, то:
(AD + DV)² + BV² = (AD + DC)² + CV²
Раскроем скобки и упростим:
AD² + 2AD·DV + DV² + BV² = AD² + 2AD·DC + DC² + CV²
2AD·DV — 2AD·DC = DC² — BV²
2AD·(DV — DC) = DC² — BV²
AD = (DC² — BV²) / 2(DV — DC)
Теперь найдем DV и DC. По свойству касательной, угол АВD равен углу ВАС. Также, угол АВС прямой, поэтому угол ВАС равен половине угла ВАD. Таким образом, угол ВАD равен углу ВАС удвоенному.
Из прямоугольного треугольника АВС находим:
DV = AB — BV = √(AV² — BV²) — √3
DC = AC — CV = √(AV² — CV²) — 5/2
Теперь можем подставить значения DV, DC и BV в формулу для AD и получить ответ:
AD = ((√(AV² — CV²) — 5/2)² — 3) / 2(√(AV² — BV²) — √(AV² — CV²))
б) Пусть ВС = √5. Тогда угол АВС не является прямым, но все остальные свойства остаются теми же. Можно использовать те же формулы для нахождения AD, но значения BV и CV будут другими.
Из прямоугольного треугольника АВС находим:
DV = AB — BV = √(AV² — BV²) — √5/2
DC = AC — CV = √(AV² — CV²) — 5/2
Подставляем значения DV, DC и BV в формулу для AD и получаем ответ:
AD = ((√(AV² — CV²) — 5/2)² — 5) / 2(√(AV² — BV²) — √(AV² — CV²))
