Вопрос школьника
Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?
Ответ от учителя
Для доказательства того, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости, можно воспользоваться следующим рассуждением.
Пусть даны две прямые AB и CD, пересекающиеся в точке М. Пусть также дана произвольная прямая EF, не проходящая через точку М, но пересекающая прямые AB и CD в точках E и F соответственно (см. рисунок).
Рассмотрим треугольники AEM и CFM. Они имеют общую сторону MF и две пары соответственных углов, равных между собой (углы AME и CMF, а также углы AEM и CFM), так как прямые AB и CD пересекаются в точке М. Следовательно, треугольники AEM и CFM подобны друг другу по признаку угловой подобности.
Из подобия треугольников AEM и CFM следует, что отношение длин отрезков AE и CF равно отношению длин отрезков EM и FM:
AE/CF = EM/FM.
Аналогично, рассмотрев треугольники BDN и CPN, можно получить:
BD/CP = DN/PN.
Заметим, что отрезки EM и FM лежат в плоскости, проходящей через прямые AB и CD, а отрезки DN и PN лежат в плоскости, проходящей через прямые AB и CD (см. рисунок). Следовательно, отношения длин отрезков AE и CF, а также BD и CP, равны между собой и лежат в одной плоскости.
Отсюда следует, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости.
Что касается второй части вопроса, то ответ на нее отрицательный. Не все прямые, проходящие через точку М, лежат в одной плоскости. Например, если прямые AB и CD лежат в плоскости, а прямая MN проходит через точку М и не лежит в этой плоскости, то все прямые, проходящие через точку М, не лежат в одной плоскости.
