Вопрос школьника
Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана, проведенная из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол
Ответ от учителя
Для начала, давайте вспомним, что такое медиана в треугольнике. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Таким образом, медиана делит сторону треугольника на две равные части.
Предположим, что у нас есть треугольник ABC, где AB ≠ AC. Пусть медиана BD проведена из вершины B к стороне AC. Также пусть точка E — середина стороны AC.
Так как точка E является серединой стороны AC, то мы можем записать, что AE = EC. Также, так как медиана BD делит сторону AC на две равные части, то мы можем записать, что AD = DC.
Теперь давайте рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем, что AD = DC, а также у нас есть угол ADB, который является прямым углом (так как медиана всегда проходит через середину противоположной стороны и перпендикулярна к этой стороне). Таким образом, треугольник ABD является равнобедренным, так как AD = BD.
Теперь давайте рассмотрим треугольник BDC. Мы знаем, что BD = BD (очевидно), а также у нас есть угол BDC, который является острым углом (так как угол ADB является прямым). Таким образом, треугольник BDC является неравнобедренным.
Так как треугольник BDC является неравнобедренным, то мы можем сделать вывод, что меньшая сторона BC соответствует меньшему углу BDC. Также мы знаем, что медиана BD делит сторону AC на две равные части, а значит, точка D является серединой стороны AC.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что угол ADB больше угла BDC (так как треугольник ABD является равнобедренным, а треугольник BDC — неравнобедренным). Но угол ADB и угол BDC являются смежными углами, а значит, угол ADB больше меньшего угла BDC, который соответствует меньшей стороне BC.
Таким образом, мы доказали, что медиана, проведенная из общей вершины треугольника, составляет с меньшей из сторон больший угол.
