Вопрос школьника
Две стороны треугольника равны 3 см и 4 см, а отношение третьей стороны к радиусу окружности, описанной около треугольника, равно √3 Найдите неизвестную сторону треугольника.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности треугольника:
R = abc / 4S,
где a, b, c — стороны треугольника, S — его площадь.
Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:
S = √p(p-a)(p-b)(p-c),
где p — полупериметр треугольника, равный (a+b+c)/2.
Подставляя известные значения сторон треугольника, получаем:
p = (3+4+x)/2 = (7+x)/2,
S = √(7+x)(x-3)(x-4)/4,
где x — неизвестная сторона треугольника.
Также из условия задачи известно, что отношение третьей стороны к радиусу описанной окружности равно √3:
x / R = √3.
Подставляя выражение для радиуса описанной окружности, получаем:
x = √3R.
Подставляя выражение для радиуса из первой формулы, получаем:
x = √3abc / 4S.
Подставляя выражения для площади и полупериметра, получаем:
x = √3(3+4+x)x / (7+x)√(7+x)(x-3)(x-4).
Упрощая выражение, получаем квадратное уравнение:
x^2 — 14x + 48 = 0.
Решая его, получаем два корня: x1 = 6, x2 = 8.
Так как сторона треугольника не может быть меньше суммы двух других сторон и не может быть равна им, то ответом является x = 8 см.
