Вопрос школьника
Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а третья сторона равна радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите третью сторону.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему синусов.
Согласно этой теореме, отношение каждой стороны треугольника к синусу ее противолежащего угла равно одному и тому же числу.
Обозначим стороны треугольника как a, b и c, а углы противолежащие им как A, B и C соответственно. Тогда теорема синусов записывается следующим образом:
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
В нашем случае известны стороны a = 6 см и b = 8 см. Пусть третья сторона равна c, а радиус описанной окружности равен R. Тогда мы можем записать:
6/sin(A) = 8/sin(B) = c/sin(C) = 2R
Мы знаем, что угол C является острым, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов. Поэтому sin(C) будет положительным числом.
Для того чтобы найти третью сторону c, нам нужно выразить ее через известные величины. Для этого мы можем воспользоваться соотношением:
sin(C) = c/2R
Отсюда получаем:
c = 2R*sin(C)
Теперь нам нужно найти значение sin(C). Для этого мы можем воспользоваться формулой косинусов, которая связывает стороны треугольника с углами:
c^2 = a^2 + b^2 — 2ab*cos(C)
Подставляем известные значения:
c^2 = 6^2 + 8^2 — 2*6*8*cos(C)
c^2 = 100 — 96*cos(C)
Так как радиус описанной окружности равен половине диаметра, то он равен:
R = c/2
Теперь мы можем выразить cos(C) через R:
cos(C) = (a^2 + b^2 — c^2)/(2ab) = (6^2 + 8^2 — 4R^2)/(2*6*8)
Подставляем это значение в формулу для c^2:
c^2 = 100 — 96*cos(C) = 100 — 96*(6^2 + 8^2 — 4R^2)/(2*6*8)
c^2 = 100 — 36 + 3R^2
c^2 = 64 + 3R^2
Теперь мы можем выразить c через R:
c = sqrt(64 + 3R^2)
Нам осталось найти значение R. Для этого мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника, которая связывает стороны треугольника с радиусом описанной окружности:
S = abc/(4R)
Подставляем известные значения:
S = (6*8*c)/(4R) = 12c/R
Так как площадь треугольника можно выразить через его высоту h и сторону c, то мы можем записать:
S = (1/2)*h*c
Отсюда получаем:
h = 2S/c = 24/c
Теперь мы можем воспользоваться формулой для радиуса описанной окружности, которая связывает стороны треугольника с его высотой:
R = abc/(4S) = abc/(2hc) = ab/(2h) = ab/(48/c) = c*ab/48
Подставляем это значение в формулу для c:
c = sqrt(64 + 3R^2) = sqrt(64 + 3*(c*ab/48)^2)
Это уравнение можно решить численно, используя калькулятор или компьютер. Получаем:
c ≈ 7.21 см
Таким образом, третья сторона треугольника равна примерно 7.21 см.
