Вопрос школьника
Две вершины параллелограмма лежат в плоскости α. Докажите, что две другие его вершины удалены от плоскости α на одинаковое расстояние. Составьте похожую задачу для других многоугольников.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения рассмотрим параллелограмм ABCD, где вершины A и B лежат в плоскости α. Проведем через точки A и B прямую, перпендикулярную плоскости α, и обозначим ее как l. Также проведем через точки C и D прямую, параллельную l, и обозначим ее как m.
Так как AB || CD, то угол между плоскостью α и плоскостью, содержащей CD, равен углу между AB и CD. Также угол между плоскостью α и плоскостью, содержащей AB, равен углу между AB и CD. Таким образом, плоскости α и m образуют одинаковый угол с плоскостью, содержащей AB, а плоскости α и l образуют одинаковый угол с плоскостью, содержащей CD.
Так как углы между плоскостями и прямыми, параллельными им, равны, то расстояние от точек C и D до плоскости α одинаково.
Таким образом, мы доказали, что две другие вершины параллелограмма удалены от плоскости α на одинаковое расстояние.
Похожую задачу можно составить для других многоугольников. Например, для треугольника. Докажите, что середины сторон треугольника лежат в одной плоскости.
