Вопрос школьника
Две вершины прямоугольника АВСВ — точки А (3; 2) и В (3; -4). Модуль вектора ВD равен 10. Найдите координаты точек С и D.
Ответ от учителя
Так как точки А и В являются вершинами прямоугольника, то сторона АВ параллельна стороне СD, а сторона АС параллельна стороне ВD. Также известно, что сторона АВ имеет длину 6 (расстояние между точками А и В).
Таким образом, мы можем найти координаты точки С, зная, что она находится на одной прямой с точками А и В. Так как точки А и В имеют одинаковую координату x (3), то координата x точки С также будет равна 3. Осталось найти только координату y точки С.
Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника АСВ:
AB^2 = AC^2 + BC^2
6^2 = AC^2 + (-4 — 2)^2
36 = AC^2 + 36
AC^2 = 0
AC = 0
Таким образом, точка С имеет координаты (3; 2).
Чтобы найти координаты точки D, мы можем воспользоваться формулой для вычисления длины вектора:
|BD| = √((x_D — x_B)^2 + (y_D — y_B)^2)
Подставляя известные значения, получаем:
10 = √((x_D — 3)^2 + (y_D + 4)^2)
100 = (x_D — 3)^2 + (y_D + 4)^2
Раскрывая скобки, получаем:
100 = x_D^2 — 6x_D + 9 + y_D^2 + 8y_D + 16
x_D^2 + y_D^2 — 6x_D + 8y_D + 125 = 0
Это уравнение окружности с центром в точке (6/2; -8/2) = (3; -4) и радиусом 10. Таким образом, точка D должна лежать на этой окружности.
Решая уравнение окружности, мы можем найти две возможные координаты точки D:
x_D = 3 ± 8/5
y_D = -4 ± 6/5
Таким образом, точки D могут иметь координаты (11/5; -22/5) и (-2/5; -14/5).
