Вопрос школьника
Дві точки ділять коло у відношенні 11 : 13. Знайдіть кут
між дотичними, що проходять через ці точки
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі нам потрібно використати властивості кола та трикутника.
Позначимо центр кола як точку O, а точки, які ділять коло у відношенні 11:13, як A та B відповідно. Нехай OA = r, OB = s.
За властивостями кола, ми знаємо, що дотична до кола у точці A буде перпендикулярна до відрізка OA, а дотична до кола у точці B буде перпендикулярна до відрізка OB.
Також, за властивостями трикутника, ми знаємо, що кут між дотичними до кола, що проходять через точки A та B, буде рівний куту між відрізками OA та OB.
Отже, нам потрібно знайти кут між відрізками OA та OB. Застосуємо теорему косинусів до трикутника OAB:
AB^2 = OA^2 + OB^2 — 2(OA)(OB)cos(θ)
де θ — кут між відрізками OA та OB.
Ми знаємо, що AB ділиться у відношенні 11:13, тому можемо позначити довжини OA та OB як 11x та 13x відповідно.
Тоді маємо:
AB^2 = (11x + 13x)^2 = 484x^2
OA^2 = (11x)^2 = 121x^2
OB^2 = (13x)^2 = 169x^2
Підставляємо ці значення до формули та отримуємо:
484x^2 = 121x^2 + 169x^2 — 2(11x)(13x)cos(θ)
194x^2 = 286x^2cos(θ)
cos(θ) = 194/286 = 0.6783
θ = cos^(-1)(0.6783) ≈ 46.6°
Отже, кут між дотичними, що проходять через точки A та B, дорівнює близько 46.6°.
