Вопрос школьника
Движущееся тело массой m1 ударяется о неподвижное тело массой m2 = m1/3. Считая удар упругим и центральным, найти, какую часть начальной кинетической энергии первое тело передает второму при ударе.
Ответ от учителя
При ударе движущееся тело передает часть своей кинетической энергии неподвижному телу, которое начинает двигаться. При этом оба тела изменяют свою скорость и импульс.
Для решения задачи воспользуемся законами сохранения энергии и импульса. Поскольку удар упругий, то сохраняется кинетическая энергия системы тел:
1/2 m1v1^2 = 1/2 m1v1′ ^2 + 1/2 m2v2′ ^2,
где v1 и v2 — начальные скорости тел, v1′ и v2′ — скорости тел после удара.
Также сохраняется импульс системы тел:
m1v1 = m1v1′ + m2v2′.
Из второго уравнения выразим v2′:
v2′ = (m1v1 — m1v1′) / m2.
Подставим это выражение в первое уравнение и преобразуем:
1/2 m1v1^2 = 1/2 m1v1′ ^2 + 1/2 (m1/3) [(m1v1 — m1v1′) / m2] ^2.
Упростим выражение:
1/2 m1v1^2 = 1/2 m1v1′ ^2 + 1/6 m1v1^2 (1 — v1’/v1) ^2.
Выразим отношение v1’/v1 через импульсы:
v1’/v1 = (m1 — m2) / (m1 + m2).
Подставим это выражение в предыдущее уравнение и получим:
1/2 m1v1^2 = 1/2 m1v1′ ^2 + 1/6 m1v1^2 [(2m2) / (m1 + m2)] ^2.
Упростим выражение:
v1′ ^2 = (4/5) v1^2.
Таким образом, часть начальной кинетической энергии, переданной первым телом второму, равна:
1/2 m1v1^2 — 1/2 m1v1′ ^2 = 1/2 m1v1^2 — 1/2 m1 (4/5) v1^2 = 1/10 m1v1^2.
Ответ: первое тело передает второму 1/10 начальной кинетической энергии.
