Вопрос школьника
Электроёмкость переменного конденсатора приёмного контура может изменяться в пределах от С до 25 С. Определить диапазон длин волн, на которые может настраиваться контур, если минимальной емкости соответствует частота колебаний ν1 = 10^8 Гц.
Ответ от учителя
Для начала необходимо использовать формулу для резонансной частоты контура:
f = 1 / (2π√(LC))
где L — индуктивность контура, C — емкость контура.
Так как емкость переменного конденсатора может изменяться в пределах от С до 25 С, то минимальная емкость С соответствует минимальной резонансной частоте:
ν1 = 10^8 Гц
Тогда можно выразить индуктивность контура:
L = 1 / (4π^2Cν1^2)
Для максимальной емкости контура (25 С) можно вычислить максимальную резонансную частоту:
ν2 = 1 / (2π√(LC)) = 1 / (2π√(1 / (4π^2 * 25 * L))) = 1 / (10π√L)
Таким образом, диапазон резонансных частот контура будет лежать между ν1 и ν2:
ν1 ≤ f ≤ ν2
Подставляя выражение для индуктивности контура, получаем:
ν1 ≤ 1 / (2π√(C * 1 / (4π^2 * ν1^2))) ≤ 1 / (10π√(C * 1 / (4π^2 * 25)))
Упрощая выражение, получаем:
ν1 ≤ 2πν1 / √C ≤ 10ν1 / √(25C)
Далее можно выразить диапазон емкостей контура, на которых он может настраиваться на заданный диапазон частот:
ν1^2 / (4π^2 * 25) ≤ C ≤ ν1^2 / (4π^2)
Подставляя значение ν1 = 10^8 Гц, получаем:
2.55 пФ ≤ C ≤ 10.2 пФ
Таким образом, диапазон длин волн, на которые может настраиваться контур, будет зависеть от емкости контура и будет лежать в диапазоне от λ1 до λ2, где:
λ1 = c / ν2
λ2 = c / ν1
где c — скорость света в вакууме.
Подставляя значения ν1 и ν2, получаем:
λ1 = c / (1 / (10π√L)) = 2π√Lc
λ2 = c / ν1 = c / 10^8 Гц
Для минимальной емкости контура (2.55 пФ) можно вычислить минимальную длину волны:
λ1 = 2π√(1 / (4π^2 * 2.55 * 10^-12 * 1 * 10^-6)) * 3 * 10^8 м/с ≈ 23.5 м
Для максимальной емкости контура (10.2 пФ) можно вычислить максимальную длину волны:
λ2 = 3 * 10^8 м/с / 10^8 Гц = 3 м
Таким образом, диапазон длин волн, на которые может настраиваться контур, будет лежать в диапазоне от 23.5 м до 3 м.
