Вопрос школьника
Если число, будучи разделено на 9, дает в остатке 1 или 8, то квадрат этого числа, деленный на 9, дает в остатке 1. Докажите это свойство.
Ответ от учителя
Для доказательства данного свойства воспользуемся определением остатка от деления. Пусть дано некоторое число $n$, которое при делении на 9 даёт остаток $r$, то есть $n = 9k + r$, где $k$ — целое число, а $r$ — остаток от деления.
Тогда квадрат этого числа равен $n^2 = (9k + r)^2 = 81k^2 + 18kr + r^2$. При делении этого выражения на 9 получим:
$$frac{n^2}{9} = 9k^2 + 2kr + frac{r^2}{9}$$
Остаток от деления этого выражения на 9 равен остатку от деления $r^2$ на 9. Нам нужно доказать, что если $r$ равно 1 или 8, то $r^2$ даёт остаток 1 при делении на 9.
Рассмотрим два случая:
1. $r = 1$. Тогда $r^2 = 1$ и при делении на 9 получаем остаток 1.
2. $r = 8$. Тогда $r^2 = 64$ и при делении на 9 получаем остаток 1.
Таким образом, в обоих случаях $r^2$ даёт остаток 1 при делении на 9. Следовательно, $frac{n^2}{9}$ также даёт остаток 1 при $r = 1$ или $r = 8$.
Таким образом, мы доказали, что если число, будучи разделено на 9, дает в остатке 1 или 8, то квадрат этого числа, деленный на 9, дает в остатке 1.
