Вопрос школьника
Если из задуманного трехзначного числа вычесть 7, то полученное число
будет делиться на 7, если вычесть 8 — то будет делиться на 8, а если вычесть
9 — будет делиться на 9 Найдите задуманное число.
Ответ от учителя
Пусть задуманное число — это abc, где a, b и c — цифры числа. Тогда по условию задачи имеем систему уравнений:
abc — 7 = 7k
abc — 8 = 8m
abc — 9 = 9n
где k, m и n — некоторые целые числа.
Рассмотрим первое уравнение. Так как abc — 7 делится на 7, то abc также должно делиться на 7 с остатком 7. То есть abc = 7p + 7, где p — некоторое целое число. Подставляем это выражение в первое уравнение:
7p + 7 — 7 = 7k
7p = 7k
p = k
Таким образом, мы получили, что p = k. Значит, abc = 7p + 7 = 7k + 7.
Аналогично рассмотрим второе уравнение. Так как abc — 8 делится на 8, то последняя цифра числа abc должна быть четной и равной 8. То есть abc = 10q + 8, где q — некоторое целое число. Подставляем это выражение во второе уравнение:
10q + 8 — 8 = 8m
10q = 8m
5q = 4m
Так как 5 и 4 взаимно простые числа, то q должно делиться на 4, а значит, q = 4r, где r — некоторое целое число. Тогда abc = 10q + 8 = 40r + 8.
Наконец, рассмотрим третье уравнение. Так как abc — 9 делится на 9, то сумма цифр числа abc должна быть кратна 9. То есть a + b + c = 9t, где t — некоторое целое число. Подставляем выражения для abc и a в третье уравнение:
40r + 8 — 9 = 9n
40r — 1 = 9n
4r — 1 = n
Таким образом, мы получили, что n = 4r — 1. Значит, a + b + c = 9t = 9(a + b + (4r — 1)) = 9(5r + a + b) — 9.
Так как a, b и r — целые числа, то 9 должно делиться на 5r + a + b. Но так как a + b + c = 9t, то 9 также должно делиться на c. Значит, c = 9 и 5r + a + b = 9k, где k — некоторое целое число.
Таким образом, мы получили систему уравнений:
abc = 7k + 7
abc = 40r + 8
a + b + c = 9k
c = 9
5r + a + b = 9k
Решая эту систему, получаем, что r = 2, a = 1, b = 6 и k = 7. Значит, задуманное число равно 167.
