Вопрос школьника
Если к числу 40 прибавить 24, то получится число 64 — точный квадрат, а если вычесть 24, то число 16 — также точный квадрат. Сколько есть еще натуральных чисел, дающих точные квадраты как при прибавлении к ним числа 24, так и при вычитании этого числа?
Ответ от учителя
Для решения задачи можно воспользоваться следующими свойствами квадратов натуральных чисел:
1. Квадрат любого четного числа также является четным числом.
2. Квадрат любого нечетного числа также является нечетным числом.
Из условия задачи известно, что $(40+24)^2=64^2$ и $(40-24)^2=16^2$. Раскроем скобки в первом выражении:
$$(40+24)^2=64^2$$
$$64^2=40^2+2cdot40cdot24+24^2$$
$$64^2=1600+1920+576$$
$$64^2=3096$$
Таким образом, мы получили, что $(40+24)^2=3096$.
Аналогично раскроем скобки во втором выражении:
$$(40-24)^2=16^2$$
$$16^2=40^2-2cdot40cdot24+24^2$$
$$16^2=1600-1920+576$$
$$16^2=256$$
Таким образом, мы получили, что $(40-24)^2=256$.
Из свойств квадратов натуральных чисел следует, что если число $x$ даёт точный квадрат при прибавлении к нему числа $24$, то оно должно быть четным, а если число $x$ даёт точный квадрат при вычитании из него числа $24$, то оно должно быть нечетным.
Таким образом, нам нужно найти все четные и нечетные натуральные числа $x$, для которых $(x+24)^2$ и $(x-24)^2$ являются точными квадратами.
Рассмотрим сначала случай, когда $(x+24)^2$ является точным квадратом. Так как $(x+24)^2=x^2+2cdot24cdot x+24^2$, то $x^2+2cdot24cdot x+24^2$ должно быть точным квадратом. Заметим, что $x^2+2cdot24cdot x+24^2=(x+24)^2-2cdot24cdot24$. Таким образом, $(x+24)^2-2cdot24cdot24$ должно быть точным квадратом. Подставляя значения $x=40$ и $x=64$, получаем:
$$(40+24)^2-2cdot24cdot24=3096-1152=1944=44^2$$
$$(64+24)^2-2cdot24cdot24=6724-1152=5572=74^2$$
Таким образом, мы нашли два четных натуральных числа, для которых $(x+24)^2$ является точным квадратом.
Рассмотрим теперь случай, когда $(x-24)^2$ является точным квадратом. Так как $(x-24)^2=x^2-2cdot24cdot x+24^2$, то $x^2-2cdot24cdot x+24^2$ должно быть точным квадратом. Заметим, что $x^2-2cdot24cdot x+24^2=(x-24)^2+2cdot24cdot24$. Таким образом, $(x-24)^2+2cdot24cdot24$ должно быть точным квадратом. Подставляя значения $x=40$ и $x=16$, получаем:
$$(40-24)^2+2cdot24cdot24=256+1152=1408=8cdot8cdot22$$
$$(16-24)^2+2cdot24cdot24=64+1152=1216=8cdot8cdot19$$
Таким образом, мы нашли два нечетных натуральных числа, для которых $(x-24)^2$ является точным квадратом.
Ответ: всего есть четыре натуральных числа, дающих точные квадраты как при прибавлении к ним числа 24, так и при вычитании этого числа. Это числа 16, 40, 64 и 88.
