Вопрос школьника
Если в трёхзначном числе зачеркнуть последнюю цифру 6, то число уменьшится на 366. Найдите это трёхзначное число.
Ответ от учителя
Пусть искомое число равно $abc$, где $a$, $b$ и $c$ — цифры числа. Тогда, если мы зачеркнем последнюю цифру 6, получим число $ab0$. Из условия задачи следует, что разность между исходным числом и числом $ab0$ равна 366:
$$abc — ab0 = 366$$
Вынесем общий множитель $ab$:
$$ab(c-0) = 366$$
Так как $c$ — цифра, то $c-0$ не может быть равно нулю. Значит, $ab$ должно быть делителем 366. Разложим 366 на множители:
$$366 = 2 cdot 3 cdot 61$$
Таким образом, $ab$ может быть равно 2, 3, 6, 61, 122, 183 или 366. Но мы знаем, что $c-0$ не может быть равно нулю, поэтому $ab$ не может быть равно 2 или 3. Также заметим, что $ab$ не может быть больше 366, так как исходное число $abc$ — трехзначное.
Остаются три варианта: $ab = 6$, $ab = 61$ и $ab = 122$. Рассмотрим каждый из них.
Если $ab = 6$, то $c(c-6) = 61$. Но так как $c$ — цифра, то $c(c-6)$ не может быть больше 81. Значит, $c$ может быть только 8 или 9. Подставим эти значения в уравнение:
$$68 — 60 = 8$$
$$69 — 60 = 9$$
Видим, что ни одно из этих чисел не уменьшается на 366 при удалении последней цифры 6. Значит, $ab$ не может быть равно 6.
Если $ab = 61$, то $c(c-1) = 6$. Но так как $c$ — цифра, то $c(c-1)$ не может быть больше 81. Значит, $c$ может быть только 2 или 3. Подставим эти значения в уравнение:
$$623 — 610 = 13$$
$$723 — 610 = 113$$
Видим, что только второе число уменьшается на 366 при удалении последней цифры 6. Значит, искомое число равно 723.
Если $ab = 122$, то $c(c-2) = 3$. Но так как $c$ — цифра, то $c(c-2)$ не может быть больше 64. Значит, $c$ может быть только 1 или 2. Подставим эти значения в уравнение:
$$123 — 120 = 3$$
$$223 — 120 = 103$$
Видим, что только первое число уменьшается на 366 при удалении последней цифры 6. Значит, искомое число равно 123.
Таким образом, мы нашли два возможных ответа: 123 и 723. Но мы знаем, что исходное число $abc$ — трехзначное, поэтому ответом является только число 723.
