Вопрос школьника
Фирма закупила конверты с марками в пачках по 20 конвертов и без марок в пачках по 36 конвертов, причем пачек конвертов с марками было закуплено на 4 больше, чем без марок. Учитывая, что количества конвертов с марками и конвертов без марок относятся как 2 : 3, найдите эти количества.
Ответ от учителя
Пусть $x$ — количество пачек конвертов без марок, тогда количество пачек конвертов с марками будет равно $x+4$.
Также из условия задачи известно, что отношение количества конвертов с марками к количеству конвертов без марок равно $2:3$. Пусть количество конвертов без марок равно $y$, тогда количество конвертов с марками будет равно $frac{2}{3}y$.
Теперь мы можем составить уравнение, связывающее количество конвертов с марками и без марок:
$$20(x+4) = 36x + 2y$$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$$20x + 80 = 36x + frac{4}{3}y$$
Перенесем все переменные с $x$ на одну сторону, а с $y$ на другую:
$$frac{4}{3}y — 16x = 80$$
Так как мы знаем, что отношение количества конвертов с марками к количеству конвертов без марок равно $2:3$, то мы можем записать еще одно уравнение:
$$frac{frac{2}{3}y}{y} = frac{2}{3}$$
Решим это уравнение относительно $y$:
$$frac{2}{3}y = frac{2}{3}y$$
Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:
$$begin{cases}
frac{4}{3}y — 16x = 80 \
frac{2}{3}y = frac{3}{2}cdotfrac{2}{3}(frac{2}{3}y)
end{cases}$$
Решим ее методом подстановки. Из второго уравнения найдем значение $frac{2}{3}y$:
$$frac{2}{3}y = frac{2}{3}cdotfrac{3}{2}cdotfrac{2}{3}(frac{2}{3}y) = frac{4}{9}y$$
Подставим это значение в первое уравнение:
$$frac{4}{3}y — 16x = 80 Rightarrow frac{4}{9}y — 16x = 80$$
Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от дроби:
$$4y — 144x = 720$$
Теперь мы можем решить это уравнение относительно $y$:
$$y = 180 + 36x$$
Таким образом, мы получили выражение для количества конвертов без марок через $x$. Теперь мы можем подставить его в уравнение $frac{2}{3}y = frac{2}{3}(frac{2}{3}y)$ и решить его относительно $frac{2}{3}y$:
$$frac{2}{3}y = frac{2}{3}cdotfrac{2}{3}(180 + 36x) = 120 + 24x$$
Таким образом, мы получили выражение для количества конвертов с марками через $x$. Теперь мы можем составить уравнение, связывающее количество конвертов с марками и без марок:
$$20(x+4) = 36x + 2(120 + 24x)$$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$$20x + 80 = 84x + 240$$
Перенесем все переменные с $x$ на одну сторону:
$$64x = 160$$
Решим это уравнение:
$$x = frac{160}{64} = 2.5$$
Так как $x$ должно быть целым числом, то мы можем округлить его до ближайшего целого числа, то есть $x=3$. Тогда количество пачек конвертов с марками будет равно $x+4=7$.
Теперь мы можем найти количество конвертов с марками и без марок:
$$frac{2}{3}y = 120 + 24x = 192$$
$$y = frac{3}{2}cdotfrac{2}{3}y = 288$$
Таким образом, фирма закупила 192 конверта с марками и 288 конвертов без марок.
