Вопрос школьника
Гипотенуза КМ прямоугольного треугольника КМР является хордой окружности радиуса √7. Вершина Р находится на диаметре, который параллелен гипотенузе. Расстояние от центра окружности до гипотенузы равно √3. Найдите острые углы треугольника КМР.
Ответ от учителя
Пусть точка O — центр окружности, а точка N — середина гипотенузы КМ. Так как гипотенуза КМ является хордой окружности, то точка O лежит на перпендикуляре, опущенном из центра окружности на гипотенузу КМ. Также из условия задачи известно, что расстояние от центра окружности до гипотенузы равно √3, следовательно, ON = √3.
Так как диаметр параллелен гипотенузе, то угол KRP прямой. Также угол KRN прямой, так как N — середина гипотенузы. Значит, угол KRO также прямой.
Треугольник KRO — прямоугольный, поэтому можно применить теорему Пифагора:
KO² = KR² + OR²
Так как радиус окружности равен √7, то OR = √7/2. Также из условия задачи известно, что KR = √7/2, так как точка Р лежит на окружности радиуса √7. Подставляя значения, получаем:
KO² = (√7/2)² + (√7/2)² = 7/2
Отсюда KO = √(7/2).
Теперь можно найти угол KON, так как из треугольника KON:
sin(KON) = ON/KO = √3/√(7/2) = √6/7
Отсюда KON = arcsin(√6/7).
Так как угол KRO прямой, то угол KRN равен KON. Также угол KRM равен 2KON, так как точка Р лежит на диаметре окружности. Таким образом, острые углы треугольника КМР равны:
K = 90° — KRM/2 = 90° — arcsin(√6/7)
M = 90° — KRN = 90° — arcsin(√6/7)
R = 180° — K — M = arcsin(√6/7)
