Вопрос школьника
Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнюс 8 см, а один
з гострих кутів — 60°. Знайдіть проекції катетів на гіпотенузу.
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі нам потрібно скористатися тригонометричними співвідношеннями для прямокутного трикутника. Зокрема, ми можемо скористатися теоремою Піфагора, яка говорить, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи:
a^2 + b^2 = c^2
Де a та b — катети, а c — гіпотенуза.
Також, ми можемо скористатися тригонометричними співвідношеннями для прямокутного трикутника, які виражають відношення катетів до гіпотенузи:
sin(α) = a/c
cos(α) = b/c
tan(α) = a/b
Де α — кут між гіпотенузою та катетом.
Отже, ми знаємо, що один з гострих кутів дорівнює 60°. Це означає, що другий гострий кут дорівнює 30° (так як сума кутів в трикутнику дорівнює 180°). Також, ми знаємо, що гіпотенуза дорівнює 8 см.
За допомогою тригонометричних співвідношень ми можемо знайти довжину катетів. Нехай a — катет, який лежить проти кута 60°, а b — катет, який лежить проти кута 30°.
За теоремою Піфагора ми можемо записати:
a^2 + b^2 = c^2
a^2 + b^2 = 8^2
a^2 + b^2 = 64
За допомогою тригонометричних співвідношень ми можемо записати:
sin(60°) = a/8
cos(60°) = b/8
tan(30°) = b/a
Звідси ми можемо виразити a та b:
a = 8*sin(60°) = 6.93 см
b = 8*cos(60°) = 4 см
Отже, проекції катетів на гіпотенузу дорівнюють:
проекція катета a на гіпотенузу — це відрізок, який лежить на гіпотенузі та перпендикулярний до катета a. Його довжина дорівнює:
a’ = c*cos(60°) = 4 см
проекція катета b на гіпотенузу — це відрізок, який лежить на гіпотенузі та перпендикулярний до катета b. Його довжина дорівнює:
b’ = c*cos(30°) = 6.93/2 = 3.47 см
Отже, проекції катетів на гіпотенузу дорівнюють a’ = 4 см та b’ = 3.47 см.
