Вопрос школьника
Горизонтальный жёлоб слева от нижней линии выгнут по цилиндрической поверхности радиуса r, а справа − по поверхности радиуса R. Найти отношение наибольших отклонений влево и вправо при малых колебаниях в жёлобе небольшого шарика
Ответ от учителя
При малых колебаниях шарика в желобе можно считать, что его движение происходит в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Также можно считать, что радиусы поверхностей желоба достаточно большие по сравнению с размерами шарика, поэтому можно пренебречь кривизной поверхности шарика и считать его точечным.
Пусть шарик находится в положении равновесия внизу желоба. При малом отклонении шарика влево он начнет двигаться вверх по желобу, а при отклонении вправо — вниз. При этом сила, действующая на шарик, будет направлена к центру кривизны поверхности желоба.
Рассмотрим отклонение шарика на расстояние x от положения равновесия влево. Тогда радиус кривизны поверхности желоба в этой точке будет равен r+x. Сила, действующая на шарик, будет направлена к центру кривизны поверхности и будет равна F = mg(x+r), где m — масса шарика, g — ускорение свободного падения.
Аналогично, при отклонении шарика на расстояние y вправо, радиус кривизны поверхности желоба будет равен R-y, а сила, действующая на шарик, будет равна F = mg(R-y).
Максимальное отклонение шарика влево будет достигаться в том месте желоба, где радиус кривизны поверхности минимален, то есть при x = -r. Максимальное отклонение шарика вправо будет достигаться в том месте желоба, где радиус кривизны поверхности максимален, то есть при y = R.
Таким образом, наибольшее отклонение шарика влево будет равно h1 = mg(2r), а наибольшее отклонение вправо — h2 = mg(R). Отношение наибольших отклонений будет равно h2/h1 = R/2r.
