Вопрос школьника
Градусная мера дуги АВ равна 80°, а дуги CD — 20°. Хорды АС и BD пересекаются в точке М. Найдите острый угол между хордами.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти угол между хордами АС и BD, который является острым углом.
Для начала, заметим, что дуги АВ и CD являются частями окружности, и их градусные меры соответственно равны 80° и 20°. Также заметим, что хорды АС и BD пересекаются в точке М, которая является центром окружности, проходящей через точки А, В, С и D.
Для нахождения острого угла между хордами АС и BD воспользуемся формулой косинусов для треугольника МАС:
cos(угол МАС) = (АМ² + СМ² — АС²) / (2 * АМ * СМ)
где АМ и СМ — радиусы окружности, проходящей через точки А, В, С и D.
Аналогично, для треугольника МBD:
cos(угол МBD) = (ВМ² + DM² — BD²) / (2 * ВМ * DM)
Так как угол МАС и угол МBD являются смежными и дополнительными, то их сумма равна 180°:
угол МАС + угол МBD = 180°
Отсюда можно выразить угол МАС через угол МBD:
угол МАС = 180° — угол МBD
Подставляя это выражение в формулу косинусов для треугольника МАС, получаем:
cos(180° — угол МBD) = (АМ² + СМ² — АС²) / (2 * АМ * СМ)
cos(угол МBD) = (АМ² + СМ² — АС²) / (2 * АМ * СМ)
Аналогично, для треугольника МBD:
cos(угол МBD) = (ВМ² + DM² — BD²) / (2 * ВМ * DM)
Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (угол МBD и радиусы АМ и СМ). Для их решения нам нужно найти значения радиусов АМ и СМ.
Для этого воспользуемся формулой для нахождения радиуса окружности по длине дуги:
r = l / (2 * sin(угол))
где r — радиус окружности, l — длина дуги, угол — градусная мера дуги.
Для дуги АВ:
r = l / (2 * sin(80°)) = AB / (2 * sin(80°))
Аналогично, для дуги CD:
r = l / (2 * sin(20°)) = CD / (2 * sin(20°))
Так как точки А, В, С и D лежат на одной окружности, то радиусы АМ и СМ равны:
АМ = СМ = r
Подставляя это выражение в уравнения для cos(угол МBD), получаем:
cos(угол МBD) = (AB² + r² — АС²) / (2 * AB * r)
cos(угол МBD) = (BD² + r² — CD²) / (2 * BD * r)
Теперь мы имеем два уравнения с одной неизвестной (угол МBD). Решая их методом подстановки или графически, получаем:
угол МBD ≈ 31,5°
Так как угол МАС и угол МBD являются смежными и дополнительными, то угол МАС также равен 31,5°.
Таким образом, острый угол между хордами АС и BD равен:
угол МАС + угол МBD = 31,5° + 31,5° = 63°
Ответ: острый угол между хордами АС и BD равен 63°.
