Вопрос школьника
Градусная мера одного из углов параллелограмма равна 120°. Биссектриса этого угла делит сторону параллелограмма на отрезки, длины которых 15 см и 10 см, считая от вершины острого угла. Вычислите длину большей диагонали параллелограмма.
Ответ от учителя
Пусть параллелограмм ABCD имеет угол A равный 120°, а биссектриса этого угла пересекает сторону BC в точке E. Тогда, по свойствам биссектрисы, отрезок BE делится на две части в отношении сторон треугольника ABE, то есть:
BE/EA = BC/AC
Подставляя известные значения, получаем:
BE/EA = 15/10
BE = 3/2 * EA
Также из треугольника ABE можно выразить угол BAE через угол A и угол EAB:
BAE = (180° — A)/2 = 30°
Затем, используя теорему синусов для треугольника ABE, можно выразить длину стороны AB через угол BAE и длины отрезков BE и EA:
AB/sin(BAE) = BE/sin(AEB)
AB/sin(30°) = (3/2 * EA)/sin(120°/2)
AB/0.5 = (3/2 * EA)/sin(60°)
AB = 3EA
Теперь можно выразить длину диагонали AC через длины сторон AB и BC:
AC = sqrt(AB^2 + BC^2 + 2AB*BC*cos(A))
Подставляя известные значения, получаем:
AC = sqrt((3EA)^2 + (15+10)^2 + 2*(3EA)*(15+10)*cos(120°))
AC = sqrt(9EA^2 + 625 — 225EA — 300EA*cos(120°))
AC = sqrt(9EA^2 + 625 + 225EA)
Осталось выразить длину EA через известные отрезки. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ABE:
EA^2 + (15+10)^2 = AB^2
EA^2 + 625 = 9EA^2
8EA^2 = 625
EA = 25/2
Теперь можно выразить длину диагонали AC:
AC = sqrt(9*(25/2)^2 + 625 + 225*(25/2))
AC = sqrt(5625)
AC = 75
Ответ: длина большей диагонали параллелограмма равна 75 см.
