Вопрос школьника
Градусная мера одного из углов равнобедренной трапеции равна 30°. Площадь круга, вписанного в эту трапецию, равна 4 π см2. Вычислите длину средней линии трапеции.
Ответ от учителя
Пусть основания равнобедренной трапеции равны a и b, а боковая сторона равна c. Так как угол при основании равен 30°, то другой такой же угол также равен 30°. Обозначим высоту трапеции через h.
Так как круг вписан в трапецию, то его центр совпадает с центром трапеции. Пусть радиус вписанного круга равен r. Тогда по теореме Пифагора для треугольника, образованного радиусом, высотой и половиной боковой стороны трапеции, имеем:
r² = (c/2)² + h²
Также известно, что площадь круга равна 4π см²:
πr² = 4π
Отсюда находим радиус:
r = 2 см
Теперь можем выразить высоту через радиус и боковую сторону:
h = √(r² — (c/2)²) = √(4 — (c/2)²)
Так как трапеция равнобедренная, то средняя линия равна полусумме оснований:
m = (a + b)/2
Выразим основания через боковую сторону и высоту:
a = b = (c + 2h)/2
Тогда средняя линия равна:
m = (c + 2h)/2 + (c + 2h)/2 = c + 2h
Осталось выразить боковую сторону через радиус и высоту. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и половиной разности оснований:
c² = h² + (b — a)² = h² + ((c + 2h)/2 — (c — 2h)/2)² = h² + 4h²
Отсюда находим боковую сторону:
c = √5h
Теперь можем выразить среднюю линию через радиус:
m = √5h + 2h = √5 + 2 ≈ 3,24 см
Ответ: длина средней линии равнобедренной трапеции, вписанной в круг площадью 4π см² и углом при основании 30°, равна примерно 3,24 см.
