Вопрос школьника
Градусная мера острого угла прямоугольной трапеции равна 45°. Вычислите площадь этой трапеции, если длина ее большей боковой стороны равна 4√2 см, а длина меньшей диагонали равна 5 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, который образуется меньшей диагональю и половиной большей боковой стороны трапеции.
Пусть a и b — основания трапеции, h — ее высота, d1 и d2 — диагонали. Так как угол между диагоналями равен 45°, то диагонали равны между собой: d1 = d2.
Из прямоугольного треугольника получаем:
(1) (a/2)^2 + h^2 = d1^2
Также из трапеции известно, что:
(2) (a + b)/2 = 4√2
Отсюда находим:
a + b = 8√2
a = 8√2 — b
Подставляем a в формулу (1):
((8√2 — b)/2)^2 + h^2 = d1^2
32 — 8√2b + b^2/4 + h^2 = d1^2
Также из трапеции известно, что:
(3) d1^2 — d2^2 = h^2(b-a)/2
Подставляем (2) и (3) в (1):
((8√2 — b)/2)^2 + (d1^2 — d2^2)/((8√2 — b)/2) = d1^2
32 — 8√2b + b^2/4 + 2d2^2/(8√2 — b) — 2d2^2b/((8√2 — b)^2) = d1^2
Заменяем d1 на d2:
32 — 8√2b + b^2/4 + 2d2^2/(8√2 — b) — 2d2^2b/((8√2 — b)^2) = d2^2
Упрощаем:
32 — 8√2b + b^2/4 + 16d2^2/(64 — 32√2b + b^2) — 2d2^2b/(64 — 32√2b + b^2) = d2^2
Переносим все слагаемые на одну сторону:
b^4 — 256b^3 + 2048b^2 — 8192b + 16384 — 512d2^2 = 0
Решаем это уравнение относительно b. Найденное значение b подставляем в (2) и находим a.
После этого находим площадь трапеции по формуле:
S = (a + b)h/2
где h — высота трапеции, которую мы нашли из формулы (1).
