Вопрос школьника
Градусная мера угла при вершине B равнобедренного треугольника АBС равна α. Найдите радиус окружности, проходящей через вершины А, С и центр вписанной в данный треугольник окружности, если длина боковой стороны равна а.
Ответ от учителя
Для начала, найдем угол при вершине C, так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Угол при вершине C равен:
β = (180 — α) / 2
Также, известно, что центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла при вершине B. Обозначим эту точку как O. Тогда угол BOC равен β/2.
Так как треугольник АBC равнобедренный, то угол BAC также равен β/2. Таким образом, треугольник BOC подобен треугольнику BAC, и мы можем записать:
BO / BA = BC / BO
BO^2 = BA * BC
Также, мы можем выразить сторону BC через угол β и сторону AB:
BC = 2 * AB * sin(β/2)
Тогда:
BO^2 = AB * 2 * AB * sin(β/2)
BO = AB * sqrt(2 * sin(β/2))
Наконец, мы можем выразить сторону AB через угол α и сторону AC:
AB = AC * sin(α/2)
Таким образом, радиус окружности, проходящей через вершины А, С и центр вписанной в данный треугольник окружности, равен:
R = BO + AB
R = AC * (sqrt(2 * sin(β/2)) + sin(α/2))
