Вопрос школьника
Груз, подвешенный на нити длиной L = 40 см, отклоняют в сторону так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. Какой будет максимальная скорость груза в возникших колебаниях?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи необходимо использовать законы гармонических колебаний. Груз, подвешенный на нити, будет колебаться вокруг положения равновесия, которое соответствует вертикальному положению нити. При отклонении груза в сторону нить начинает двигаться по дуге окружности, и когда груз достигнет точки максимального отклонения, нить будет образовывать угол $theta$ с вертикалью.
Для определения максимальной скорости груза в колебаниях необходимо использовать закон сохранения энергии. При максимальном отклонении груз находится на максимальной высоте $h$, которая равна $L(1-costheta)$. При этом потенциальная энергия груза равна $mgh$, где $m$ — масса груза, а $g$ — ускорение свободного падения. Кинетическая энергия груза в этой точке равна нулю, так как скорость груза в этот момент равна нулю.
При прохождении грузом положения равновесия нить находится в горизонтальном положении, и кинетическая энергия груза максимальна, а потенциальная энергия равна нулю. Следовательно, полная энергия груза в этой точке равна кинетической энергии и равна $frac{1}{2}mv^2$, где $v$ — скорость груза в этот момент.
Из закона сохранения энергии следует, что полная энергия груза в любой точке колебаний должна быть постоянной и равной энергии в положении равновесия. Таким образом, мы можем записать уравнение:
$$frac{1}{2}mv^2 = mgh$$
Подставляя выражение для высоты $h$, получаем:
$$frac{1}{2}mv^2 = mgL(1-costheta)$$
Используя тригонометрические соотношения, можно выразить $costheta$ через скорость груза:
$$costheta = 1 — frac{v^2}{2gL}$$
Подставляя это выражение в уравнение для энергии, получаем:
$$frac{1}{2}mv^2 = mgLleft(1-left(1-frac{v^2}{2gL}right)right)$$
Решая это уравнение относительно $v$, получаем:
$$v = sqrt{2gL}$$
Таким образом, максимальная скорость груза в колебаниях равна $sqrt{2gL}$, где $g$ — ускорение свободного падения, а $L$ — длина нити. Для данной задачи, где $L=40$ см, максимальная скорость груза будет равна:
$$v = sqrt{2times9.8times0.4} approx 1.98 text{ м/с}$$
Ответ: максимальная скорость груза в возникших колебаниях равна примерно 1.98 м/с.
