Вопрос школьника
Груз вращается на подвесе, выполненном в виде резинового шнура, вокруг вертикальной оси. Начальная длина подвеса равна l, а при вращении подвес растягивается до длины L. Определите угловую скорость вращения груза, если статическое удлинение шнура при подвешивании к нему груза составляет nl.
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо использовать закон Гука, который описывает связь между удлинением резинового шнура и силой, действующей на него:
F = k * Δl,
где F — сила, действующая на шнур, k — коэффициент упругости (жесткость) шнура, Δl — удлинение шнура.
В данной задаче статическое удлинение шнура при подвешивании груза составляет nl, поэтому сила, действующая на шнур, равна:
F = k * nl.
При вращении груза подвес растягивается до длины L, поэтому удлинение шнура равно:
Δl = L — l.
Тогда сила, действующая на шнур при вращении груза, будет равна:
F = k * (L — l).
С другой стороны, сила, действующая на груз, равна:
F = m * g,
где m — масса груза, g — ускорение свободного падения.
Таким образом, получаем уравнение:
m * g = k * (L — l).
Выразим коэффициент упругости шнура:
k = m * g / (L — l).
Угловая скорость вращения груза определяется по формуле:
ω = v / r,
где v — линейная скорость груза, r — радиус вращения.
Линейная скорость груза можно выразить через период обращения T:
v = 2 * π * r / T.
Период обращения связан с угловой скоростью следующим образом:
T = 2 * π / ω.
Тогда угловая скорость можно выразить через радиус вращения и период обращения:
ω = 2 * π / T = 2 * π * r / (2 * π * v) = r / v.
Радиус вращения равен половине длины подвеса:
r = (L — l) / 2.
Таким образом, угловая скорость вращения груза будет равна:
ω = (L — l) / (2 * v),
где линейная скорость v определяется из уравнения:
m * g = k * (L — l) = m * g / 2.
Отсюда получаем:
v = √(2 * g * (L — l)).
Подставляя это значение в формулу для угловой скорости, получаем:
ω = (L — l) / (2 * √(2 * g * (L — l))).
Таким образом, угловая скорость вращения груза зависит от длины подвеса l, удлинения шнура nl, коэффициента упругости k, массы груза m и ускорения свободного падения g.
