Вопрос школьника
Хорда АВ делит дугу окружности в отношении 2:7. Через точку А проведена касательная к окружности. Найдите углы, которые она образует с данной хордой.
Ответ от учителя
Пусть дуга, которую делит хорда АВ, имеет длину L. Тогда, по условию, длина дуги, которую оставляет хорда АВ, равна 2L/9, а длина дуги, которую она пересекает, равна 7L/9.
Рассмотрим треугольник АВС, где С — точка пересечения хорды АВ и касательной СК. Так как СК — касательная к окружности, то угол АСК прямой. Пусть угол АВС равен α, тогда угол АСВ также равен α (так как АВ — хорда, а угол, соответствующий данной дуге, равен половине центрального угла, который равен 2α).
Таким образом, угол АСК равен 90°-α. Рассмотрим треугольник АСК. Из него можно выразить угол КСА:
tg(90°-α) = КС/АС
tgα = КС/АС
Также из треугольника АВС можно выразить угол АСВ:
tgα = СВ/АС
Соединим эти два уравнения:
tgα = КС/АС = СВ/АС
КС = СВ, так как они являются отрезками касательной, проведенной из одной точки. Тогда:
tgα = КС/АС = СВ/АС = 1
α = arctg1 = 45°
Таким образом, углы, которые касательная образует с данной хордой, равны 45°.
