Вопрос школьника
Хорда АВ стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде АВ. При этом АD = 2, ВD = 1, DС = √2. Найти площадь треугольника АВС
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства хорд и секущих окружности.
Сначала найдем длину хорды АВ. Так как дуга, стягиваемая хордой АВ, равна 120°, то угол, соответствующий этой дуге, равен половине центрального угла, который равен 240° (так как сумма углов в центре окружности равна 360°). Таким образом, угол АОВ (где О — центр окружности) равен 120°, а угол АВО равен половине этого угла, то есть 60°. Тогда, применяя теорему косинусов к треугольнику АВО, получаем:
AV² = AO² + OV² — 2·AO·OV·cos(60°) = R² + R² — 2·R²·1/2 = 2R² — R² = R²,
где R — радиус окружности. Следовательно, AV = R.
Далее, найдем длину отрезка AD. Обозначим точку пересечения хорды АВ и дуги СD как Е. Тогда, так как хорда АВ является секущей, то AE·EB = DE·EC. Подставляя известные значения, получаем:
AE·(AV — AE) = 2·(√2 + 1)·(R — √2 — 1),
AE² — AE·AV + 2·(√2 + 1)·(R — √2 — 1) = 0.
Решая это квадратное уравнение относительно AE, получаем:
AE = R — √2 — 1.
Теперь можем найти длину отрезка СВ:
CV = AV — AC = R — √2.
Наконец, можем найти площадь треугольника АВС, применяя формулу для площади треугольника через стороны:
S = √(p·(p — AB)·(p — AC)·(p — BC)),
где p — полупериметр треугольника. Подставляя известные значения, получаем:
p = (AB + AC + BC)/2 = (R + R — √2 — 1 + √2)/2 = R — 1/2,
S = √((R — 1/2)·(R — 1/2 — R)·(R — 1/2 — (R — √2))·(R — 1/2 — (√2 — R))) = √(R² — 1/4)·√(3/4 — √2/2)·√(3/4 + √2/2).
Таким образом, площадь треугольника АВС зависит только от радиуса окружности R и может быть выражена через него.
