Вопрос школьника
Хорда CD перетинає діаметр АВ у точці М, СЕ ┴ АВ, DF ┴ AB, ∟AMС = 60°, ME = 18 см, MF = 12 см (рис. 285). Знайдіть хорду CD
Ответ от учителя
Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства окружности и треугольников.
Из условия задачи мы знаем, что хорда CD пересекает диаметр АВ в точке М. Так как диаметр является наибольшей хордой окружности, то точка М является серединой хорды CD.
Также из условия задачи мы знаем, что CE перпендикулярна к АВ, а DF перпендикулярна к AB. Из этого следует, что треугольники АМС и АМЕ являются равнобедренными, так как у них равны основания AM и ME, а угол ∟AMС равен 60°. Значит, угол ∟ACM также равен 60°.
Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины хорды CD. Обозначим длину хорды CD как х. Тогда:
AC² = AM² + MC² — 2·AM·MC·cos(∟ACM)
AB² = AM² + MB² — 2·AM·MB·cos(∟AMB)
Так как ∟ACM = ∟AMB = 60°, то cos(∟ACM) = cos(∟AMB) = 0.5. Подставляя известные значения, получаем:
AC² = (18 + x/2)² + MC² — 18·(18 + x/2)·0.5
AB² = (12 + x/2)² + MB² — 12·(12 + x/2)·0.5
Так как MC = MB = x/2 (так как точка М является серединой хорды CD), то мы можем объединить эти уравнения:
(18 + x/2)² + (x/2)² — 9(18 + x/2) = (12 + x/2)² + (x/2)² — 6(12 + x/2)
Раскрывая скобки и упрощая, получаем:
x² — 36x + 288 = 0
Решая квадратное уравнение, получаем два корня: x₁ = 8 и x₂ = 28. Так как хорда CD не может быть меньше диаметра АВ (который равен 24 см), то мы выбираем больший корень x₂ = 28 см.
Таким образом, длина хорды CD равна 28 см.
