Вопрос школьника
Хорда длиной 20 см перпендикулярна диаметру и делит его на отрезки, один из которых равен 5 см. Найдите диаметр окружности.
Ответ от учителя
Пусть $AB$ — диаметр окружности, а $CD$ — перпендикулярная ему хорда, которая делит его на отрезки $AC$ и $CB$, причем $AC = 5$ см. Тогда, по свойству хорд, произведение отрезков $AC$ и $CB$ равно квадрату расстояния от середины хорды до центра окружности. Обозначим середину хорды как точку $M$, а центр окружности — как точку $O$. Тогда имеем:
$$AC cdot CB = AM cdot MB = OM^2$$
Так как $AC = 5$ см, а $CB = AB — AC$, то $CB = AB — 5$ см. Подставляем эти значения в формулу:
$$5 cdot (AB — 5) = OM^2$$
Так как $OM$ — это радиус окружности, а $AB$ — это диаметр, то $OM = frac{AB}{2}$. Подставляем это значение и получаем уравнение:
$$5 cdot (AB — 5) = left(frac{AB}{2}right)^2$$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$$5AB — 25 = frac{AB^2}{4}$$
Умножаем обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
$$20AB — 100 = AB^2$$
Переносим все слагаемые в левую часть уравнения:
$$AB^2 — 20AB + 100 = 0$$
Это квадратное уравнение относительно $AB$. Решаем его с помощью формулы дискриминанта:
$$D = (-20)^2 — 4 cdot 1 cdot 100 = 400 — 400 = 0$$
Так как дискриминант равен нулю, то уравнение имеет единственный корень:
$$AB = frac{-(-20)}{2 cdot 1} = 10$$
Ответ: диаметр окружности равен 10 см.
